湖南省邵阳县2024年高三下学期3月第一次质检数学试题试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合{}
1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3 B ．0或3
C ．1或3
D ．1或3
2．已知复数21i
z i
英语六级
=+，则z =（    ） A ．1i + B ．1i -
C ．2
D ．2
3．若点位于由曲线
与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（  ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知函数()ln f x x ax b =++的图象在点(1,)a b +处的切线方程是32y x =-，则a b -=（    ） A ．2
B ．3
C ．-2
D ．-3
5．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（    ）
A ．23
B ．21
C ．35
D ．32
6．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
1
1f x f x +=-
()()0≠f x ，且在区间()20172018,
上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα，的大小关系是（    ） A ．()()sin cos βα<f f  B ．()()sin cos βα>f f  C ．()()sin =cos βαf f
D ．以上情况均有可能
7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（  ）
A ．
18
B ．
17
C ．
16
D ．
15
8．过点6(26)2P ，的直线l 与曲线213y x =-交于A B ，两点，若25PA AB =，则直线l 的斜率为(    ) A ．23-
B ．23+
C ．23+或23-
D ．23-或31-
9．函数22cos x x y x x
--=-的图像大致为（    ）.
A ．
B ．
C ．
D ．
10．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <；的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，
{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 11．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（    ） A ．13
B ．14
江苏省公务员考试南京报名入口湖南选调生报名时间C ．15
D ．16
12．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x
B x ⎧⎫⎪⎪
⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
.则集合()
U A B 等于（    ）
A ．(1,2)
B ．(2,3]
C ．(1,3)
D ．(2,3)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为
45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23
和1
2
．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 14．已知双曲线22
219x y b
-=的左、右焦点分别为12F F P ，，为双曲线上任一点，且12PF PF ⋅的最小值为7-，则该双
曲线的离心率是__________.
15．设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2
2y x =，则该双曲线的离心率为____________.
16．6
3
12x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的二项展开式中，含x 项的系数为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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17．（12分）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1
tan 2
ACB ∠=
.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：
（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '
（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小.
18．（12分）已知数列{}n a 中，1a a =（实数a 为常数），22,n a S =是其前n 项和，()
1=2
n n n a a S -且数列{}n b 是等比数列，142,b a =恰为4S 与21b -的等比中项． （1）证明：数列{}n a 是等差数列；
（2）求数列{}n b 的通项公式；
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（3）若132c =，当2n ≥时11
111
12n
n n n
c b b b --=+++
++，{}n c 的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12613n T n ≥+．陕西省招教考试
19．（12分）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，若1a ，2a ，5a 成等比数列． （1）求n a 及n S ； （2）设21
1
(*)1n n b n N a +=
∈-，设数列{}n b 的前n 项和n T ，证明：14n
T <． 20．（12分）在①2a =，②2a b ==，③2b c ==这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积的值（或最大值）．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，三边a ，b ，c 与面积S 满足关系式：2224S b c a =+-，且            ，求ABC 的面积的值（或最大值）． 21．（12分）已知函数2
()2ln =-f x x x x ，函数2()(ln )=+
-a
g x x x x
，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且()02g x =.
（1）讨论()f x 的单调性 （2）求实数0x 和a 的值
（3）证明
()*
21
11
ln(21)2
41
=>
+∈-∑
n
k n n N k
22．（10分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点. （1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）（文科）求三棱锥B EFC -的体积； （理科）求二面角P EC D --的正切值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．B 【解析】
因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，所以3m =或m m =
.
若3m =，则{1,3,3},{1,3}A B ==，满足A B A ⋃=. 若m m =
，解得0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，
{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
2．C 【解析】
根据复数模的性质即可求解. 【详解】
21i z i
=
+, |2|2
2|1|2
i z i ∴=
==+, 故选：C 【点睛】
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 3．D 【解析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜率，然后结合图形
求解可得所求范围． 【详解】 画出曲线
与
围成的封闭区域，如图阴影部分所示．