南京市2023届高三年级学情调研
数学
2022.09.07
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6＜0}，B ＝{x |x ＋1＞0}，则A ∩B ＝
A ．(－3，－1)
B ．(－1，2)
C ．(2，＋∞)
D ．(－3，＋∞)
2．已知复数z ＝(2＋i)i ，其中i 为虚数单位，则z z －
的值为
A
．3
B ．5
C ．3
D ．5
3．已知随机变量X ~N (4，22)，则P (8＜X ＜10)的值约为
A ．0.0215
B ．0.1359
C ．0.8186
D ．0.9760
附：若Y ~N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Y ＜μ＋σ)≈0.6827，P (μ－2σ＜Y ＜μ＋2σ)≈0.9545，
P (μ－3σ＜Y ＜μ＋3σ)≈0.9974
4．若直线x ＋y ＋a ＝0与曲线y ＝x －2ln x 相切，则实数a 的值为
A ．0
B ．－1
C ．－2
D ．－3
5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的
阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y （m ）和时间t （s ）的函数关系为y ＝sin(ωt ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)，如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3（0＜t 1＜t 2＜t 3），且t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为A ．13
s
B ．23
s
C ．1s
D ．43
s
6．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，
点P 为椭圆上一点，且PF 2⊥F 1F 2．若AB ∥PF 1，则椭圆的离心率为
t
O
y
（第5题图）
图1
图2
A．5
5B．1
2
C．3
3
D．2
2
7．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P－ABE外接球的表面积为
A.25π
16B.25π
4
C.5π
2
D.5π
8．已知函数f(x)，任意x，y∈R，满足f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，且f(1)＝2，f(2)＝0，则f(1)＋f(2)＋…＋f(90)的值为
A．－2B．0C．2D．4
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中，“l⊥m”的充分条件有
A．α⊥β，l⊥α，m∥βB．α∥β，l∥α，m⊥β
C．α⊥β，l⊥α，m⊥βD．α⊥β，l∥α，m∥β
10．已知a＞b＞0，则
A．1
b＞1
a
B．a－1
b＞b－
1
a
C．a3－b3＞2(a2b－ab2)D．a＋1－b＋1＞a－b
11．已知直线l：x＋1＝0，点P(1，0)，圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则A．点M的轨迹为抛物线
B．圆M面积的最小值为4π
C．当圆M被y轴截得的弦长为25时，圆M的半径为3
D．存在点M，使得MO
MP＝23
3，其中O为坐标原点
12．已知函数f(x)＝3x－2x，x∈R，则A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B ．存在a ∈R ，使得函数y ＝f (x )
a x 为奇函数
C ．函数g (x )＝f (x )＋x 有且仅有2个零点
D ．任意x ∈R ，f (x )＞－1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．(1－1
x
2)(1＋x )6的展开式中x 3的系数为▲________．
14．双曲线x 2
－y 2
4
＝1右焦点为F ，点P ，Q 在双曲线上，且关于原点对称．若PF ⊥QF ，则
△PQF 的面积为▲________．
15．如图是构造无理数的一种方法：线段OA 1＝1；第一步，以线段OA 1为直角边作直角三
角形OA 1A 2，其中A 1A 2＝1；第二步，以OA 2为直角边作直角三角形OA 2A 3，其中A 2A 3＝1；第三步，以OA 3为直角边作直角三角形OA 3A 4，其中A 3A 4＝1；…，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如OA 2，OA 3，…，则OA 2→·OA 4→
＝▲________．
16．若函数f (x )＝2x －sin x －a 在(－π，π)上存在唯一的零点x 1，函数g (x )＝x 2＋cos x －ax ＋a
在(－π，π)上存在唯一的零点x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的取值范围为▲________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）
在平面四边形ABCD 中，∠ABD ＝45°，AB ＝6，AD ＝32．对角线AC 与BD 交于点E ，且AE ＝EC ，DE ＝2BE ．（1）求BD 的长；（2）求cos ∠ADC 的值．
A 12022四级成绩公布时间
A 2
A 3
A 4
A 5
O （第15题图）
M
D
C
B
A
P
已知数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝20，且数列{a n ＋1－a n }为等差数列，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设数列{1a n }的前n 项和为S n ，证明：S n ＜1
2
．
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．
（1）求证：PA ∥平面MBD ；
（2）若AB ＝AD ＝PA ＝2，∠BAD ＝120°，求二面角B －AM －D 的正弦值．
（第19题图）
某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：
合格不合格
男生3515
女生455
（1）是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？
（2）从这50名男生中任意选2人，求这2人中合格人数的概率分布及数学期望；
（3）将抽取的这100名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率．若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加0.1．现从该校学生中任意抽取2名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率．
附：K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k  3.841  6.63510.828.