2022-2023学年河北省石家庄市高二下学期月考四数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2,3,4M =，{}
2
8120N x Z x x =∈-+<，则M N ⋃中元素的个数是（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【分析】首先求出集合{}
2
个数.
【详解】对于集合{}
2
8120N x Z x x =∈-+<，
28120x x -+<，解得：26
x <<；又x Z ∈ ，3,4,5x ∴=，{}
3,4,5N ∴={}2,3,4,5M N = ，共4个元素，
故选：C.
2．若复数()2
42i z a a =-+-为纯虚数，则实数a 的值为（
）
A ．2
B ．2或2-
C ．2
-D ．4
-【答案】C
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式计算作答.
【详解】因为复数()2
42i z a a =-+-为纯虚数，则有240
20a a ⎧-=⎨-≠⎩
，解得2a =-，
所以实数a 的值为2-.故选：C
3．已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面,αβ，下列四个命题中正确的是（）
A ．若//,//m n αα，则//m n
B ．若//,l m αα⊂，则//l m石家庄招聘2022
C ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥
D ．若//,l l αβ⊥，则αβ
⊥【答案】D
【分析】根据线线、线面、面面位置关系及平行垂直性质判断逐一判断.【详解】若//,//m n αα，可以有//m n 或,m n 相交，故A 错；
若//,l m αα⊂，可以有//l m 或l m 、异面，故B 错；若,l αβα⊥⊂，可以有l β⊥、l 与β斜交、l //β，故C 错；过l 作平面n γα=I ，则//l n ，又l β⊥，得n β⊥，n β⊂，所以αβ⊥，故D 正确.故选:D
【点睛】本题考查空间线、面的位置关系，属于基础题.4．函数()4cos 22x x
x
f x -=
-的部分图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再由特殊值排除D 即可得解.【详解】因为()4cos 22x x
x
f x -=-的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，
所以4cos()4cos ()()2222x x x x
x x
f x f x ----=
==---，即函数为奇函数，排除AB ，
当2x =时，2
2
4cos 2
(2)022f -=<-，排除D.故选：C
5．已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为A ．
2
π
B ．
1
π
C ．2π
D ．π
【答案】A
【详解】设底面半径为R ，侧面展开图半径为r ；
底面周长等于侧面半圆周长，即2,2R r r R
ππ==22212
36,2S R r R R 表ππππ
=+===选A
6．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，E 为AP 的中点，则异面直线PC 与DE 所成的角的余弦值为（
）
A ．
25
B ．
55
C ．
105
D ．
15
5
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用夹角公式求出cos ,PC DE
，
即可求解异面直线的夹角．【详解】根据题意，以AB ,AD ,AP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，设2AB PA ==，(0P ,0,2),(2C ,2,0),(0E ,0,1),(0D ,2,0)，
(2PC =
,2,2)-,(0DE = ,2-,1)，
6315cos ,5
235
15PC DE -=
=-
=-
⨯
，则异面直线PC 与DE 所成角的余弦值为155
.故选：D ．
.
7．如图，在平面四边形ABCD 中，120
1AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=︒==，，，．若点E 为边CD 上的动点（不与C 、D 重合），则EA EB ⋅
的最小值为（）
A ．
1312
B ．
2116
C ．3
D ．1
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得,EA EB
的坐标，根据数量积的坐标表示，结
合二次函数知识，即可求得答案.【详解】由于,AB BC AD CD ⊥⊥，
如图，以D 为坐标原点，以,DA DC 为,x y 轴建立直角坐标系，连接AC ，由于1AB AD ==，则ADC △≌ABC ,
而120BAD ∠= ，故60CAD CAB ∠=∠=︒，则60BAx ∠=︒，
则33
001,0),(,),(0,3)2(2
),(D A B C ，，
设0,),3(0E y y ≤≤，则(1,)EA y =- ，33
(,)22
EB y =- ，
故2233321()22416E y y y A EB =+-=-+⋅ ，
当3
4
y =时，EA EB ⋅ 有最小值2116，
故选：B ．
8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD 为矩形，EF AB ∥，22AB EF ==，ADE V 与BCF △都是边长为1的等边三角形，若点A ，B ，C ，D ，E ，F 都在球O 的球面上，则球O
的表面积为（）
A ．
11π8
B ．
11π6
C ．
11π4
D ．
11π2
【答案】D
【分析】如图，根据球的性质可得1OO ⊥平面ABCD ，根据中位线的性质和勾股定理可得1MO PQ ⊥且12
2
MO =
，
分类讨论当O 在线段1O M 上和O 在线段1MO 的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.
【详解】如图，连接AC ，BD ，设1AC BD O ⋂=，
因为四边形ABCD 为矩形，所以1O 为矩形ABCD 外接圆的圆心．连接1OO ，则1OO ⊥平面ABCD ，分别取EF ，AD ，BC 的中点M ，P ，Q ，根据几何体ABCDEF 的对称性可知，直线1OO 交EF 于点M ．
连接PQ ，则PQ AB ∥，且1O 为PQ 的中点，因为EF AB ∥，所以∥PQ EF ，连接EP ，FQ ，在ADE V 与BCF △中，易知2
2
13
122EP FQ ⎛⎫==-= ⎪
⎝⎭
，所以梯形EFQP 为等腰梯形，所以1MO PQ ⊥，且2
213212
222MO ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．设1OO m =，球O 的半径为R ，连接OE ，OA ，
当O 在线段1O M 上时，由球的性质可知222R OE OA ==，
易得2
2
115122O A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则2
2
22215222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，此时无解．当O 在线段1MO 的延长线上时，由球的性质可知，
2
2
22
521222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭，解得24m =，所以22118R OE ==，所以球O 的表面积2
11π
4π2
S R ==
，故选：D ．
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