河北省石家庄市四十四中2022-2023学年高二下学期开学考
试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若,,DA a DB b DC c ===
，
则BE =石家庄招聘2022
（
）
A ．1144a b c
-+  B ．1122a b c
-+
C ．1144a b c
++
D ．1122
a b c
-+
2
．直线10x -=的倾斜角为A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒
3．已知数列3，6-，9，12-，…，则该数列的第10项为（）
A ．21
-B ．30
-C ．21
D ．30
4．圆22
1:4210C x y x y +-++=与圆222:4440C x y x y ++-+=的位置关系是（
）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．外离5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3616
S S =，则93S
S =（
）
A ．12
B ．36
C ．31
D ．33
6．已知双曲线22
1169
x y -=上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(5,0)-的距离为（
）
A ．7
B ．23
C ．5或25
D ．7或23
7．已知函数()sin 3x f x π=，数列{}n a 满足11a =，且1111n n a a n n +⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
（n 为正整数）．则
()2022f a =（
）
A ．1
-B ．1
C
．D
8．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1223
F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则
2212
31
e e +=（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、多选题
9．下列结论正确的是（
）
A ．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B ．斜率相等的两直线的倾斜角一定相等
C ．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
D ．经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程可以表示为：121121()()()()
y y x x x x y y --=--10．已知{}n a 为等差数列，135246105,99a a a a a a ++=-++=-，则（）
A ．{}n a 的公差为2
B ．{}n a 的公差为3
C ．{}n a 的前50项和为900
D ．{}n a 的前50项和为1300
11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312
n n S a =-，数列{}n b 满足1n n n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）
A ．数列{}n a 的通项公式为1
3n n a -=B ．{}lg n a 为等差数列
C ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
D ．数列{}n b 的通项公式()()
1
1233131n n n
n b -+⨯=--12．
设m R ∈，直线310mx y m --+=与直线310x my m +--=相交于点(,)P x y ，线段AB 是圆22:(2)(1)9C x y +++=的一条动弦，Q 为弦AB
的中点，||AB =确的是（
）
A ．点P 在定圆22(2)(2)8x y -+-=上
B ．点P 在圆
C 外
C ．线段PQ
长的最大值为6D ．PA PB ⋅
的最小值为15-三、填空题
13．抛物线2:12C y x =-的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点(5,2)A -，则
PA PF +的最小值为___________.
14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若523S S -=，且公差33d a =+，则n S 的最小值为____.
15．已知数列{}n a 与{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，若321
n n S n T n +=+，则5
5
a b =______．四、双空题
16．已知直线13480l x y +-=：
与2320l x ay -+=：平行，则实数=a ________，两平行线之间的距离为_______________.
五、解答题
17．已知：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，点M 为PD 中点，1PA AD ==
．
(1)求证：平面MAC ⊥平面PCD ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角大小；
18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12S =，122n n S S +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ．
19．已知直线()():12530R l k x y k k --+-=∈恒过定点P ，圆C 经过点()4,0A 和点P ，且圆心在直线210x y -+=上.(1)求定点P 的坐标与圆C 的方程；
(2)过()10,0M 的直线1l 被圆截得的弦长为8，求直线1l 方程.
20．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1211,a a =为整数，且4n S S ≤.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
21．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>的长轴长为4，离心率e 是方程22520x x -+=的
一根．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知O 是坐标原点，斜率为k 的直线l 经过点()0,1M ，已知直线l 与椭圆C 相交于点A ，B ，求OAB  面积的最大值．
22．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点()2,b 到焦点F 的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)若直线:(0)l x ty m m =+>与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且以线段AB 为直径的圆过原点O ，求证直线l 恒过定点，并求出此定点的坐标．
答案第1页，共13页
参考答案：
1．A
【分析】利用空间向量加减法的运算法则即可得解.【详解】依题意，结合图形可得，
111()222
BE BD DE DB DF DB DA DC =+=-+=-+⨯+                                11114444DA DB DC a b c =-+=-+              ．
故选：A.2．D
【分析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解.
【详解】10x -=
化为y =+
直线的斜率为0150.故选:D.
【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.3．B
【分析】根据数列的特征进行求解即可.
【详解】因为313,623,933,1243=⨯-=-⨯=⨯-=-⨯，
所以该数列的通项公式为1(1)3(N )n n a n n +*
=-⋅∈，因此11
10(1)31030a =-⋅⋅=-，
故选：B 4．D
【分析】将两圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标和半径的长，然后利用圆与圆的位置关系判定.
【详解】将两圆的一般方程化为标准方程得()()2
2
1:214C x y -++=;()()22
2 :224C x y ++-=,
可知圆心()12,1C -,()22,2C -，半径122,2r r ==,
12125C C r r =
>+，
故两圆外离，故选：D.