第1讲计数原理与概率
[考情分析]  1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主.2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．
考点一排列与组合问题
核心提炼
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
例1(1)(2023·信阳模拟)直上九天问苍穹，天宫六人绘新篇.2023年5月30日神舟十六号发射成功，神十五与神十六乘组航天员在太空会师，6名航天员分两排合影留念，若从神十五和神十六每组的3名航天员中各选1人站在前排，后排的4人要求同组的2人必须相邻，则不同的站法有()
A．72种B．144种
C．180种D．288种
答案B
解析因为第一排的站法有C13C13A22＝18(种)，
第二排的站法有A22A22A22＝8(种)，
所以不同的站法有18×8＝144(种)．
(2)(多选)(2023·重庆模拟)教育部发布了《中国高考报告2023》，为让学生对高考有所了解，某学校拟在一周内组织数学、英语、语文、物理、化学的5位该学科的骨干教师进行“中国高考报告2023”的相应学科讲座，每天一科，连续5天．则下列结论正确的是(
)
A ．从5位教师中选2位的不同选法共有20种
B ．数学不排在第一天的不同排法共有96种
C ．数学、英语、语文排在都不相邻的三天的不同排法共有12种
2023年高考是哪三天
D ．物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有120种
答案
BC 解析对于A 选项，从5位教师中选2位的不同选法共有C 25＝10(种)，A 错误；对于B 选项，数学不排在第一天，则数学有4种排法，其他4门学科全排列即可，所以不同的排法共有4A 44＝96(种)，B 正确；
对于C 选项，数学、英语、语文排在都不相邻的三天，则这三门学科分别排在第一、三、五
天，所以不同的排法共有A 33A 22＝12(种)，C 正确；
对于D 选项，物理排在化学的前面(可以不相邻)的排法共有A 55A 22＝1202
＝60(种)，D 错误．规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
跟踪演练1(1)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
答案
64解析①当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有C 14C 14＝16(种)；
②当从8门课中选修3门时，
(ⅰ)若体育类选修1门，则不同的选课方案共有C 14C 24＝24(种)；
(ⅱ)若体育类选修2门，则不同的选课方案共有C 24C 14＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
(2)(多选)(2023·白银模拟)小许购买了一套五行文昌塔摆件(如图)，准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有()
A ．不同的摆放方法共有120种
B ．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C ．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D ．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种答案
ACD 解析由题可知，不同的摆放方法共有A 55＝120(种)，A 正确；
若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有A 33A 24＝72(种)，
C 正确，B 不正确；若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有A 22A 44－2A 33＝
36(种)，D 正确．
考点二二项式定理核心提炼
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
例2(1)(2023·湖北八市联考)已知二项式(2x －a )n 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中含x 3项的系数为20，则实数a 的值为________．
答案
－12解析因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n ＝6，
二项式的通项为T k ＋1＝C k 6(2x )
6－k (－a )k ，令6－k ＝3，解得k ＝3，
所以展开式中含x 3的项为
C 36(2x )3(－a )3＝－160a 3x 3，
由－160a 3＝20，解得a ＝－12
.
(2)(多选)(2023·临沂模拟)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则下列结论中正确的是()
A．a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2
B．a1－a2＋a3－a4＋…－a2022＋a2023＝1－32023
C．a1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＝4046
D．|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|＝32023
答案AB
解析对于A选项，令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－1，
又a0＝C02023＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a2023＝－2，故A正确；
对于B选项，令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a2023＝32023，
－a1＋a2－a3＋…－a2023＝32023－1，
故a1－a2＋a3－a4＋…－a2022＋a2023＝1－32023，故B正确；
对于C选项，记y＝(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，
则y′＝－4046(1－2x)2022＝a1＋2a2x＋…＋2023a2023x2022，
令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋2023a2023＝－4046，故C错误；
对于D选项，(1－2x)2023的通项公式为
T k＋1＝C k2023(－2x)k(0≤k≤2023，k∈N)，
当k为奇数时，系数为负数，
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|＝－a1＋a2－a3＋…－a2023＝32023－1，故D错误．
＝C k n a n－k b k(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的规律方法二项式(a＋b)n的通项公式T k
＋1
展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中C k n是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)在(1＋x的展开式中，x的系数为()
A．12B．－12C．6D．－6
答案D
解析因为＝C03·x3＋C13·x C23·＋C33，
所以只有(1＋x)中的1与中的C13·x2x，
即C13·x6x，所以x的系数为－6.
(2)(多选)(2023·宿迁模拟)设(2x ＋1)6＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 6(x ＋1)6，则下列结论中正确的是()
A ．a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝36
B ．a 2＋a 3＝－100
C ．a 1，a 2，a 3，…，a 6中最大的是a 2
D ．当x ＝7时，(2x ＋1)6除以16的余数是1
答案
ABD 解析(2x ＋1)6＝[－1＋2(x ＋1)]6＝C 06(－1)6[2(x ＋1)]0＋C 16(－1)5[2(x ＋1)]1＋…＋C 66(－1)0[2(x ＋1)]6，①
对A ，对题中式子，令x ＝－2，则[2×(－2)＋1]6＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝36，故A 正确；
对B ，由①式知a 2＋a 3＝C 26(－1)4×22＋C 36(－1)3×23＝60－160＝－100，故B 正确；
对C ，a i ＝C i 6(－1)6－
i ·2i (i ＝0,1,2,3,4,5,6)，当i ＝1,3,5时，a i <0，a 0＝1，
a 2＝C 26(－1)4·22＝60，
a 4＝C 46(－1)2·24＝240，
a 6＝C 66(－1)0·26＝64，最大的为a 4，故C 不正确；
对D ，当x ＝7时，(2x ＋1)6＝156＝(16－1)6＝C 06166－C 16165＋C 26164－C 36163＋C 46162－C 5616＋C 66
＝16×(C 06165－C 16164＋C 26163－C 36162＋C 46161－C 56)＋1，所以(2×7＋1)6除以16的余数
是1，
故D 正确．
考点三概率核心提炼
1．古典概型的概率公式
P (A )＝事件A 包含的样本点数试验的样本点总数.2．条件概率公式
设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，
则P (B |A )＝P (AB )P (A )
.3．全概率公式
设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝错误!(A i )P (B |A i )．
例3(1)(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，