一、选择题（只有题干）
1、求函数y=√1−e−2x的定义域
∵1−e2x≥0
∴e2x≤1，则x≤0，即x∈(−∞，0]
2、若f(x)=x sin2x，求f′′(0)
解析：
f′(x)=sin2x+2x cos2x
f′′(x)=2cos2x+2[cos2x−2x sin2x]=4cos2x−4x sin2x
∴f′′(0)=4
3、求极限lim x→0x+sin2x
4x−sin x
解析：
由罗必达准则得
lim x→0x+sin2x
4x−sin x
=lim
x→0
x+2x
4x−x
=
3
3
=1
4、椭圆x2+4y2=4在点（1，√3
2
）处的切线斜率为解析：
对x2+4y2=4求导得
2x+8y dy
dx
=0
整理得
dy dx =−
x
4y
即切线斜率为k=−√3
6
5、设f(x)=e x，则∫f′(ln x)
x
dx=解析：
∫f′(ln x)
x
dx=∫f′(ln x)d ln x=f(ln x)+C
由f(x)=e x得
f(ln x)+C=e ln x+C=x+C
6、曲线y=6x2−1
4
x4的凹区间为
解析：
y′=12x−x3,y′′=12−3x2令y′′=0，解得x=2或−2，即当x∈(−2,2)时，y′′≥0，
所以(−2,2)为凹区间
7、二元函数z =ln (1+x
y )的全微分dz =（） 解析： ðz
ðx
=1
1+x
y
∙1y =1y+x          ðz
ðy =
1
1+x y
∙x ∙(−1y 2)=−x
y 2+xy
dz =ðz
ðx dx +ðz
ðy dy =1
y+x dx −x
x 2+xy dy
8、下列级数中发散的是（）    A ∑sin n n 2
∞n=1    B ∑(−1)n 3n+1
∞n=1
C ∑3n+5n 2
∞n=1
D ∑4n 5n
∞n=1
答案：C  解析：
∑3n n 2=∑3n
∞
n=1
∞
n=1
因为∑3
n ∞n=1发散，所以∑3n+5n 2
∞
n=1
发散
9、微分方程dy
dx =(2x +1)y 2的通解为 解析： 分离变量得
1
y 2
dy =(2x +1)dx  对等式两侧求不定积分
∫
1
y 2
dx =∫(2x +1)dx  解得
−
1
y
=(x 2+x )+C  整理得
y =−
1
x 2+x +C
10、三阶行列式|1a
a 2
1b
b 21
c c 2
|的值 解析：
|1a a 21b b 21c
c 2|=|1a a 2
0b −a b 2−a 20c −a
c 2−a 2
| =(b −a )(b −c )|1a a 2
01
b +a 01
c +a
|
=(b −a )(c −a )|1a
a 2
01
b +a 00
c −b
|=(b −a )(c −a )(c −b ) 二、填空题 11、lim x→0∫ln (1+2t )dt
x
0x 2
=______
答案：1 解析：lim x→0∫ln (1+2t )dt
x
0x 2
=lim x→0
ln (1+2x )
2x
=lim x→0
2x 2x
=1
12、二元函数f(x ，y)=x 2+3y 2−4x −6y +1的极小值______
答案：-6 解析：
由{ðf ðx =2x −4=0
ðf
ðy
=6y −6=0得
{x =2
y =1
且
ð2z
ðx 2
=2，
ð2z ðxðy
=0，
ð2z ðy 2
=6
则AC −B 2=12>0，A >0 ∴(2,1)为极小值点，极小值为-6
13、微分方程dy
dx +1
x y =x 满足y|x=1=0的特解_______ 答案：y =1
3x 2−
13x
解析： 通解y =*∫xe
∫1
x dx
dx +C+∙e
−∫1x
dx
=1x (13x 3+C)=13x 2+C
x
x =1，y =0代入，解得C =−1
3
即特解y =13
x 2−
13x
14、矩阵A =(112
a 23a −125)中元素a 13的代数余子式A 13=4，则a =____
答案：1 解析:
A 13=(−1)1+3M 13=|a 2
−12
|=2a +2=4,
∴a =1
15、幂级数∑n √n
x −1)n ∞的收敛域______
答案：(0,2] 解析:
lim n→∞|a n+1a n |=lim n→∞√n n +1
=1 所以，收敛半径 R =1. 当x =0时，级数∑√n
∞ 发散.当x =2时，级数∑n √n
∞ 收敛.因此所求级数的收敛域为
(0,2].
三、计算题
16、设z =sin (u +v )，u =ye x ，v =x 2+y ，求∂z
∂x ，∂2z
∂y 2 解析：
ðz
ðx =cos (ye x +x 2+y )(ye x +2x) ðz
ðy
=cos (ye x +x 2+y )(e x +1) ð2z
ðy
2=−sin (ye x +x 2+y )∙(e x +1)2 17、求齐次方程组{x 1−5x 2+2x 3−3x 4=0
5x 1+3x 2+6x 3−x 4=02x 1+4x 2+2x 3+x 4=0的基础解系，并用其表示方程组的通解。
解析：系数矩阵
A =(1−52−3536−12421)初等行变换→      (  1097−
1
201−1712
000
0)
所以基础解系如下
通解为
X =k 1∙η1+k 2∙η2=k 1∙(−9170)+k 2∙(1
−1
02
)
18、求∫xe −2x dx 1
0 解析：
∫xe
−2x
dx 1
=14∫te −t dt 20=−14∫t de −t 20=−14(te −t |02−∫e −t dt 2
0)=−14(te −t |02+e −t |02
)=−34e −2+1
4
19、求由曲线y =cos x ，y =sin x ，直线x =π
6及y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积。 解析：
V =∫πcos 2x π6
dx −∫πsin 2x π6
dx =π∫cos 2x π6
dx =
√34
π
20、已知生产某产品的固定成本为500万元，该产品的需求函数P =89−2Q （万元），边际利润函数为16Q −Q 2−11（万元/单位产品）（P 为产品价格，Q 代表产品质量）。求： （1）当Q =15（产品单位）时改产品的边际成本，并解释其经济意义。 （2）该产品的总产品函数。 解析：
河北专接本学校有哪些学校（1）收益函数
R =PQ =(89−2Q)Q =89Q −2Q 2
R ′=89−4Q
边际成本
C ′=R ′−L ′=Q 2−20Q +100
Q =15,C ′(15)=25
当Q =15（产品单位）时改产品的边际成本为25，即再生产一个产品成本增加25万元。 （2）可变成本
C =1
3
Q 3−10Q 2+100Q
总成本
C(Q)=1
3
Q 3−10Q 2+100Q +50