2024学年山东省济宁市实验中学招生全国统一考试考试说明跟踪卷（三）数学试题 注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。济宁教育招生考试院
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．17
7- B ．717- C ．177 D ．7
17
2．数列{}n a 满足：3111
,25n n n n a a a a a ++=-=，则数列1{}n n a a +前10项的和为
A ．10
21 B ．20
21 C ．919 D ．18
19
3．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1
1
34AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为
A ．1
4 B ．1
3
C ．2
3 D ．1
6
4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n  项和，6353a a a +-=，则7S =（  ）
A ．42
B ．21
C ．7
D ．3
5．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝(  )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0-
C ．{}0,3
D ．{}1,0,3-
6．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（
）
A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班
B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定
C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班
D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103
7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课
程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（    ）种.
A ．408
B ．120
C ．156
D ．240 8．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（    ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
9．甲在中发了一个6元“拼手气”红包，被乙､丙､丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少
领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（    ）
A ．13
B ．310
C ．25
D ．34
10．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（    ）
A ．2425-
B ．725-
C ．1625
D ．85
11．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3
OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（    ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
12．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具
体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（  ）
A ．760
B ．16
C ．1360
D ．14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．命题“对任意1x >，21x >”的否定是        ．
14．实数x ，y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则y x 的最小值为_______． 15．已知向量a 与b 的夹角为3
π，|a |＝|b |＝1，且a ⊥（a -λb ），则实数λ=_____. 16．已知向量()1,a m =，()2,1b =，且a b ⊥，则m =________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，114
223AB AA A B BC AC =====，，，点F 为棱AB 的中点，点E 为线段11A C 上的动点.
（1）求证：EF BC ⊥；
（2）若直线1B E 与平面11A FC 所成角为60︒，求二面角11E BB A --的正切值.
18．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，AB  =2BC ，点Q 为AE 的中点.
（1）求证：AC //平面DQF ；
（2）若∠ABC =60°，AC ⊥FB ，求BC 与平面DQF 所成角的正弦值.
19．（12分）如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，22MB MD ==.
（1）证明：AM ⊥平面ABCD ；
（2）若//CD AB ，2CD AB =，E 为线段BM 上一点，且2BE EM =，求直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值.
20．（12分）已知曲线1C ：3sin 6πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C ：62x y ϕϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.
（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的方程化为极坐标方程；
（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离.
21．（12分）已知0a >，0b >，且1a b +=.
（1）求12a b
+的最小值； （2）证明：22251ab b a b +<++. 22．（10分）在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且223sin
sin 302
A A +-=. （1）求角A 的大小；
（2）已知ABC ∆外接圆半径33R AC ==，求ABC ∆的周长.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1、B
【解题分析】
由θ是第二象限角且sin θ =1213
知：5cos 13θ==-，5
t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517
πθθθ+︒+
==--︒． 2、A 【解题分析】
分析：通过对a n ﹣a n+1=2a n a n+1变形可知1112n n a a +-=，进而可知121
n a n =-，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵112n n n n a a a a ++-=，∴1112n n
a a +-=， 又∵3
1a =5， ∴()3112n 32n 1n a a =+-=-，即121
n a n =-， ∴()111111222121n n n n a a a a n n ++⎛⎫=-=- ⎪-+⎝⎭
， ∴数列{}1n n a a +前10项的和为
1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选A ．
点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝
⎭；（2）
1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
3、A