安徽省马鞍山市2021届新高考数学二模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（    ）
A ．36
B ．72
C ．36-
D ．36±
【答案】A
【解析】
【分析】
根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S .
【详解】
等比数列{}n a 满足21a =，616a =
，所以44a ==±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===.
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
2．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=的短轴长为2，
焦距为12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，若点P 为C 上的任意一点，则12
11PF PF +的取值范围为（    ） A ．[]1,2
B
． C
．⎤⎦ D ．[]1,4
【答案】D
【解析】
【分析】 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到124PF PF +=，利用二次函数的性质可求1214PF PF ≤≤，从而可得12
11PF PF +的取值范围. 【详解】
由题设有1,b c ==2a =，故椭圆2
2:14
x C y +=， 因为点P 为C 上的任意一点，故124PF PF +=.
又()1212121211
1144=4PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF ++==-，
因为122PF ≤≤，故()11144PF PF ≤-≤， 所以12
1114PF PF ≤+≤. 故选：D.
【点睛】 本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别是12F F 、，点P 为C 上的任意一点，则有122PF PF a +=，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题. 3．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x
=++，下列说法正确的是（    ） A ．函数()f x 的定义域为R
B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π
=
对称 D
．将函数2y x =
图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B
【解析】
【分析】
化简到()24f x x π⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】
22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝
⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，
故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4
πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.
故选：B .
【点睛】
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.
4．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是(    )
A ．22y x =
B ．24y x =安徽省2021对口高考招生网
C ．28y x =
D ．210y x = 【答案】B
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义可得,12||||||22
p p AB AF BF x x =+=+
++，把线段AB 中点的横坐标为3,||8AB =代入可得p 值，然后可得出抛物线的方程.
【详解】
设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，设点()()1122,,,A x y B x y ， 由抛物线的定义可知()1212||||||22
p p AB AF BF x x x x p =+=+++=++， 线段AB 中点的横坐标为3，又||8AB =，86p ∴=+，可得2p =，
所以抛物线方程为24y x =.
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键.
5．若i 为虚数单位，则复数112i z i +=
+在复平面上对应的点位于（    ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】D
【解析】
【分析】 根据复数的运算，化简得到3155z i =
-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555
i i i i z i i i i +-+-====-++-，
所对应的点为31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
位于第四象限.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（    ）
A ．()()p q ⌝∧⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∨
D ．p q ∧
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，
当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±.
所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件. p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题． 当1a =时，2()1f x x =+没有零点，
所以命题q 是假命题．
所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
7．已知正三角形ABC 的边长为2，D 为边BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，并满足2AE CF =u u u v u u u v ，则DE DF ⋅u u u v u u u v 的取值范围是（    ）
A ．11[,]216-
B ．1(,]16-∞
C ．1
[,0]2- D ．(,0]-∞
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，求出直线:1)AB y x =+，:1)AC y x =-
设出点(1)),(,1))E m m F n n +-，通过||2||AE CF =u u u r u u u r ，出m 与n 的关系． 通过数量积的坐标表示，将DE DF ⋅u u u r u u u r 表示成m 与n 的关系式，消元，转化成m 或n 的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为DE DF ⋅u u u r u u u r
的取值范围．
【详解】
以D 为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建系，
设(1,0),(1,0)A B C -，则直线:1)AB y x =+ ，:1)AC y x =-
设点(1)),(,1))E m m F n n +-，10,01m n -≤<<≤
所以(),(1,1))AE m CF n n ==--u u u r u u u r
由||2||AE CF =u u u r u u u r
得224(1)m n =- ，即2(1)m n =- ， 所以22713(1)(1)4734()816
DE DF mn m n n n n ⋅=-+-=-+-=--+u u u r u u u r ， 由12(1)0m n -≤=-<；及01n <≤，解得112
n ≤<，由二次函数2714()816y n =--+的图像知，11[,]216y ∈-，所以DE DF ⋅u u u r u u u r 的取值范围是11[,]216
-．故选A ． 【点睛】
本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．
8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线
上，2F G OG ⊥1|||
OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（  ）
A ．2y x =±
B ．2y x =±
C ．y x =±
D ．y =
【答案】D
【解析】
【分析】
根据2F G OG ⊥，先确定出2,GF GO 1|||OG GF =转化为
,,a b c 的关系式，化简后可得到
b a 的值，即可求渐近线方程. 【详解】