安徽省合肥市2021届新高考数学二模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（    ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】 【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
2．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足
11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（  ）
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．2y x =±
D ．y x =±
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得1
60AFO ∠=o
，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.
【详解】 如图所示：
由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，
所以12F A AF ⊥，
因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，
故而由几何性质可得1
60AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，
故渐近线方程为y =， 故选B. 【点睛】
本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o
是解题的关
键，属于中档题. 3．函数()sin()f x x π
=-223
的图象为C ，以下结论中正确的是（    ）
①图象C 关于直线5
12
x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3
π
-
对称；
③由y =2sin2x 的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C. A ．① B ．①②
C ．②③
D ．①②③
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论. 【详解】
因为()sin()f x x π
=-223
，
又553(
)2sin(2)2sin 2121236f ππππ=⨯-==，所以①正确. ()2sin(2)2sin()0333
f ππππ--=⨯-=-=，所以②正确.
将2sin 2y x =的图象向右平移3π
个单位长度，得22sin[2()]2sin(2)33
y x x ππ=-=-
，所以③错误. 所以①②正确，③错误. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
4．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角
的正切值等于（）
A．
6
4
B
．
10
4
C．
5
D．
15
5
【答案】D
【解析】
【分析】
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，1
AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．求解平面11
ACC A的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】
如图所示的直四棱柱1111
ABCD A B C D
-，60
ABC︒
∠=，取BC中点E，
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，1
AA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
设2
AB=，则
11
(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)
A A
B
C C
-，11
(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)
BC AC AA
===
u u u r u u u r u u u r
．
设平面11
ACC A的法向量为(,,)
n x y z
=
r
，
则
1
30,
20,
n AC x y
n AA z
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅==
⎪⎩
v
v取1
x=，
得(1,3,0)
n=
r
．
设直线1
BC与平面
11
ACC A所成角为θ，
则
1
1
236
sin
84
||
BC n
BC n
θ
⋅-
===
⋅
⋅
u u u r r
u u u r r，
2
610
cos1
44
θ
⎛⎫
∴=-=
⎪
⎪
⎝⎭
，
∴直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于5
故选：D 【点睛】
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 5．已知函数()1x
f x xe
-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内
都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（    ） A ．(1,]e  B ．2(,]e e e
-
C ．22(,]e e e e
-
+ D ．2
(1,]e e
-
【答案】D 【解析】 【分析】
将原题等价转化为方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根，先求导()'f x ，可判断
()0,1x ∈时，
()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤，再令2
()ln 1F x x x ax =-++，求导得
221
()x ax F x x
'
--=-
，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点1x ，使得()0F x '=在()0,e 有解，通过导数可判断当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；当()1,x x e ∈时()0F x '<，
()F x 在()1,x e 上是减函数；则应满足()()1max 1F x F x =>，再结合211210x ax --=，构造函数()2ln 1m x x x =+-，求导即可求解；
【详解】
函数()2
0()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，
等价于方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内都有两个不同的根.
111()(1)x x x f x e xe x e '---=-=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当()1,x e ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数.因此()01f x <≤.
设2
()ln 1F x x x ax =-++，2121()2x ax F x x a x x
'
--=-+=-，
若()0F x '=在()0,e 无解，则()F x 在(0,]e 上是单调函数，不合题意；所以()0F x '=在()0,e 有解，且易知只能有一个解.
设其解为1x ，当()10,x x ∈时()0F x '>，()F x 在()10,x 上是增函数；
当()1,x x e ∈时()0F x '<，()F x 在()1,x e 上是减函数.
因为0(0,]x e ∀∈，方程()2
0ln 1x x ax f x -++=在(0,]e 内有两个不同的根，
所以()()1max 1F x F x =>，且()0F e ≤.由()0F e ≤，即2ln 10e e ae -++≤，解得2a e e
≤-
. 由()()1max 1F x F x =>，即2111ln 11x x ax -++>，所以2
111ln 0x x ax -+>.
因为2
11210x ax --=，所以11
安徽省2021对口高考招生网12a x x =-
，代入2111ln 0x x ax -+>，得2
11ln 10x x +->. 设()2
ln 1m x x x =+-，()1
20m x x x
'=
+>，所以()m x 在()0,e 上是增函数， 而()1ln1110m =+-=，由2
11ln 10x x +->可得()()11m x m >，得11x e <<.
由1112a x x =-
在()1,e 上是增函数，得112a e e
<<-. 综上所述2
1a e e
<≤-， 故选：D. 【点睛】
本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题
6．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n n
n a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（    ）
①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误
【答案】A 【解析】 【分析】
利用韦达定理可得1αβ+=,1αβ=-，结合n n
n a αβ=+可推出1n a +1n n a a -=+，再计算出11a =,23a =,
从而推出①正确；再利用递推公式依次计算数列中的各项，以此判断②的正误. 【详解】
因为α,β是方程210x x --=的两个不等实数根, 所以1αβ+=,1αβ=-,
因为n n
n a αβ=+,
所以11
1n n n a αβ+++=+
()()n n n n n n αβααβββααβ=+++-- ()()()11n n n n αβαβαβαβ--=++-+ ()()111n n n n n n a a αβαβ---=+++=+,
即当3n ≥时，数列{}n a 中的任一项都等于其前两项之和, 又11a αβ=+=,()2
22223a αβαβαβ=+=+-=, 所以3214a a a =+=,4327a a a =+=,54311a a a =+=, 以此类推，即可知数列{}n a 的任意一项都是正整数，故①正确; 若数列{}n a 存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5, 由11a =,23a =，依次计算可知,
数列{}n a 中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期, 故数列{}n a 中不存在个位数字为0或5的项，故②错误; 故选:A. 【点睛】
本题主要考查数列递推公式的推导，考查数列性质的应用，考查学生的综合分析以及计算能力.
7．在260
202
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b +的最小值是
（    ） A ．
74
B ．
94
C ．
52
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.