2021山东省高考数学试卷及答案解析
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.设集合{}
42＜＜x x A -=，{}5432，，，=B ，则B A ⋂=（
）
A.{}
2  B.{}
3,2  C.{}4,3  D.{}
4,3,22.已知i z -=2，则()
=+i z z （
）A.i
26-  B.i
24-  C.i
26+  D.i
24+3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A.2
B.2
2  C.4
D.2
44.下列区间中，函数()⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=6sin 7πx x f 单调递增的区间是（）
A.⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛20π，  B.⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ，2  C.⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛
23ππ，  D.⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ223，5.已知1F ，2F 是椭圆14
9:2
2=+y x C 的两个焦点，点M 在C 上，则21MF MF ⋅的最大
值为（）
A.13
B.12
C.9
D.6
6.若2tan -=θ，则
()=++θθθθcos sin 2sin 1sin （）A.5
6
-
B.52-
C.
5
2  D.
5
6
7.若过点()b a ，可以左曲线x
e y =的两条切线，则（）
A.a
e b
＜  B.b
e a
＜  C.b
e
a ＜＜0  D.a
e
b ＜＜0
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部答对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据n x x x  21，，由这组数据得到新样本数据n y y y  21，，其中
()n i c x y i i ,2,1=+=，c 为非零常数，则（
）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知O 为坐标原点，点()ααsin ,cos 1P ，()ββsin ,cos 2-P ，
()()()βαβα++sin ,cos 3P ，()0,1A ，则（
）
==C.2
13OP OP OP OA ⋅=⋅  D.3
21OP OP OP OA ⋅=⋅11.已知点P 在圆()()16552
2
=-+-y x 上，点()04，A ，()20，B ，则（
）
A.点P 到直线AB 的距离小于10
B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当PBA ∠最小时，2
3=PB    D.当PBA ∠最大时，2
3=PB 12.在正三棱柱111C B A ABC -中，11==AA AB ，点P 满足1BB BC PB μλ+=，其中
[]1,0∈λ，[]1,0∈μ，则（
）
A.当1=λ时，P AB 1∆的周长为定值
B.当1=μ时，三棱锥BC A P 1-的体积为定值
C.当21
=
λ时，有且仅有一个点P ，使得BP P A ⊥1D.当2
1
=μ时，有且仅有一个点P ，使得B A 1⊥平面P
AB 1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数()(
)x
x
a x x f --⋅=2
23
是偶函数，则a =
.
14.已知O 为坐标原点，抛物线()02:2
＞p px y C =的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上的一点，且OP PQ ⊥，若6=FQ ，则C 的准线方程为
.
15.函数()x x x f ln 212--=的最小值为
.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为
dm dm 1220⨯的长方形纸，对折1次共可以得到dm dm 1210⨯、dm dm 620⨯两种规格的
图形，它们的面积之和2
1240dm S =，对折2次共可以得dm dm 125⨯、dm dm 610⨯、
dm dm 320⨯三种规格的图形，她们的面积之和22180dm S =.以此类推.则对折4次共可以
得到不同规格图形的种数为
；如果对折n 次，那么
=
∑=n
k k
S
1
2dm .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知数列{}n a 满足11=a ，⎩⎨
⎧++=+为偶数
为奇数n a n a a n n n ,2,11（1）记n n a b 2=，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前20项和.
18.（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择，并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。
A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；
B 类问题中的每个问题回答正确得
80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6.且能正确回答问题的概率与否与回答次序无关。
（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累积得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。
19.（12分）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ，，，已知ac b =2
，点D 在边AC 上，C a ABC BD sin sin =∠⋅.（1）证明：b BD =；（2）若DC AD 2=.求ABC ∠cos .
20.（12分）如图，在三棱锥BCD A -中，平面⊥ABD 平面BCD ,AD AB =.O 为BD 的中点.
（1）证明：CD OA ⊥;
2021山东省高考位次对应大学
（2）若OCD ∆是边长为1的等边三角形.点E 在棱AD 上.EA DE 3=.且二面角D BC E --的大小为45°，求三棱锥BCD A -的体积.
21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()
0,171-F ，()0,172
F ，点M 满足
221=-MF MF .记M 的轨迹为C .
（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线2
1
=
x 上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TQ TP TB TA ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
22.（12分）已知函数()()x x x f ln 1-=（1）讨论()x f 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b a b a a b -=-ln ln ，证明：e b
a ＜＜
112+.
2021山东省高考数学真题及参考答案
一、选择题1.B 2.C
解析：i z -=2，i z +=2，i i z 22+=+.
()
()()i
i i i i i i z z 2622442222+=--+=+-=+⋅3.B
解析：设母线长为l ，则底面周长为π22.为侧面展开图半周长：l π，故ππ22=l ，∴
22=l .
4.A
5.C
解析：法一：由均值不等式及椭圆第一定义()
964
1
4
1
22
2121=⨯=
+≤⋅MF MF MF MF ，当()20±，M 取等，故所求最大值为9.法二：设()y x M ,，则99593533
53221≤-=⎪⎪⎭
⎫  ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫  ⎝
⎛+=⋅x x x MF MF ，当0=x 取等.故所求最大值为9.6.C
解析：法一：由2tan -=θ得54sin 2
=
θ，5
2
cos sin -=⋅θθ.故
()()5
2
cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin 2sin 1sin 22
=+=++=++θθθθθθθθθθθθ.法二：
()()52
1
tan tan tan cos sin cos sin sin cos sin cos sin sin cos sin 2sin 1sin 2
22222
=++=++=++=++θθθθθθθθθθθθθθθθθ7.D
解析：点()b a ，在曲线x
e y =的下方，且可做两条，∴a
e b ＜＜0（由a
e b ＜迅速确定D 正
确）
8.A 解析：由独立事件的定义知A 正确.二、选择题
9.CD