2021年山东高考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B = A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}
2．
2i
12i
-=+ A ．1 B ．−1 C ．i
D ．−i
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙
场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 A ．120种 B ．90种 C ．60种
D ．30种
4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时
间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为
A ．20°
B ．40°
C ．50°
D ．90°
5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足
球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
A ．62%
B ．56%
C ．46%
D ．42%
6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)  A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天
D ．3.5天
7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6-    B ．()6,2-  C ．()2,4-
D ．()4,6-
8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是
A ．[)1,1][3,-+∞
B ．3,1][,[01]--
C ．[)1,0][1,-+∞
D ．1,0]3][[1,-
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线22:1C mx ny +=.
A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B ．若m =n >0，则C
C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =
D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线
10．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=
A ．π
sin(3
x +）
B ．π
sin(2)3x -  C ．πcos(26x +）  D ．5π
cos(
2)6
x - 11．已知a >0，b >0，且a +b =1，则
A ．2212
a b +≥
B ．122
a b ->
C ．22log log 2a b +≥-
D
12．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且
1
()0(1,2,
,),1n
i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21
()log n
i i i H X p p ==-∑.
2021山东省高考位次对应大学
A ．若n =1，则H (X )=0
B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C ．若1
(1,2,,)i p i n n
==，则H (X )随着n 的增大而增大
D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．斜率为C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 14．将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 15．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧
AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四
边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =3
5
，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，
A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．
16．已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D
面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）
在①ac =sin 3c A =
，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且sin A B =，6
C π
=，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分）
已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 19．（12分）
为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2
SO 浓度有关？
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
20．（12分）
如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
（1）证明：l ⊥平面PDC ；
（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
21．（12分）
已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当e a =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；