杭州电子科技大学2007~2008学年第一学期《线性代数A 》期末考试试题(A 卷)
题号一
二
三
四
总分
1
2
3
4
5
6
得分签名
一、单项选择题(每小题3分，共3824´=分)
1．若行列式1
2
04
3
l l -=-, 则(
)l =.
(A) 1
-(B) 5
(C) 1-且5
(D) 1-或5
2．若A 为n 阶矩阵，且03
=A ，则矩阵=--1
)(A E （
）. （A ）2
A
A E +-（
B ）2
A
A E ++（C ）2
A
A E -+（D ）2
A
A E --3．设A 为n 阶矩阵，且2
A A =，则（）成立.
(A)A O =（B ）若A 不可逆，则A O =(C)A E =（D ）若A 可逆，则A E =4．矩阵A 在（）时，其秩改变. （A ）转置（B ）初等变换
（C ）乘以奇异矩阵
（D ）乘以非奇异矩阵
5．若向量组
m a a a ,,,2
1 线性相关，则向量组内（
）可由向量组其余向量线性表示.
（A ）至少有一个向量
（B ）没有一个向量（C ）至多有一个向量（D ）任何一个向量
6．设矩阵12341
24511012A æö
ç÷=-ç÷ç÷èø
，其秩=)(A R （）.
（A ）1
（B ）2
（C ）3 （D ）4
7．在线性方程组b AX =中，方程的个数小于未知量的个数，则有（
）
. （A ）b AX =有无穷多解（B ）b AX =有惟一解（C ）0=AX 有非零解（D ）0=AX 只有零解
8．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征值是A 与对角矩阵相似的（
）. （A ）充分但非必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件
二．填空题（每空3分，共3824´=分）1．110112202232032
=
.
2．设010002300A æöç÷=ç÷ç÷èø
，则1
A -=
.
3．设A 为n 阶正交阵，且0>A ，则=
A .
4．设向量组()()()1231,1,2,2,,5,1,6,1k a a a =-==-线性相关，则=
k .
5．设三元非齐次线性方程组AX b =，()2R A =，且12111,101h h æöæöç÷ç÷==
ç÷ç÷ç÷ç÷èøè
ø是其两个不同的解，则该方程组的通解是
X = .
6．设三阶方阵A 有特征值1,2,3，且A 与B 相似，则B = .
7．设向量1111a æöç÷=ç÷ç÷èø与211t a æöç÷
=ç÷ç÷èø
正交，则t = .
8．二次型2
2
2
123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵的秩是的矩阵的秩是 .
三．计算题（6分+6分+10分+8分+7分+5分=42分）
1．设,A B 为三阶矩阵，已知2AB A B =+，且002040200B æö
ç÷=ç÷ç÷èø
，求A E -.
2．设0110A -æö
=ç÷
èø
，
1B P AP -=，求200822B A -.
3．设有向量组123410311302,,,217242140a a a a æöæöæöæöç÷ç÷ç÷ç÷--ç÷ç÷ç÷ç÷=
=
=
=
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èø
èø
èø
èø
杭州电子科技大学，求该向量组的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量
用该极大线性无关组线性表示.
4．当l 取何值时，非齐次线性方程组取何值时，非齐次线性方程组
1231231232
342231x x x x x x x x x l l ++=ìï
++=íï+-=î
有无穷多解，并求出此时线性方程组的通解.
5．设1221A æö=ç÷èø
，求一个正交矩阵U ，使得1U AU -=L ，其中L 为对角矩阵.
6．设实二次型2
2
2
12312323(,,)22f x x x x x tx x x =+++为正定二次型，求常数t .
四．证明题（10分）
向量组1a 与向量组11b a =有相同的线性相关性；给定向量组12,a a ，显然向量组112221,b a a b a a =+=+线性相关；相关；
（1）证明：向量组123,,a a a 与向量组112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+有相同的线性相关性；有相同的线性相关性； （2）给定向量组1234,,,a a a a ，说明向量组，说明向量组
112223334441,,,b a a b a a b a a b a a =+=+=+=+
必线性相关；必线性相关；
（3）由以上结论，请你归纳出相应的结论，并证明之.
发布评论