技法点拨
■岳红云陈红如赵艳
基金项目：河南工业大学2020-2021年理学院高等教育教学改革项目：复变函数与积分变换课程改革与实践。
摘要：复变函数与积分变换课程是高等数学的后续课程，是工科专业的一门重要的专业基础课程，是培养数学思维能力的重要手段，通过与高等数学的类比，通过实施混合式教学模式与方法，显著提升课堂教学效果，切实提高人才培养质量。
关键词：复变函数与积分变换；类比法；混合式教学改革
复变函数与积分变换课程是在高等数学课程的基础上延续的又一重要的基础课程，它是解决信号处理问题和自动控制问题等的重要又方便的数学工具，同时复变函数理论更强的抽象性和较强的逻辑性为今后的学习奠定良好的数学基础，是培养数学思维能力的重要手段。所以复变函数与积分变换是一门承上启下的重
要基础课程，它一方面为后续专业课程，如自动控制原理等提供了必要的数学基础和工具；另一方面可以深刻巩固学生所学的数学知识，特别是高等数学知识，可以使学生初步掌握利用所学数学知识解决专业领域问题的能力。因此需要对复变函数与积分变换课程的学习进行合理有效的设计，实现知识传授、技能获得、价值引领相统一，进行教学内容、教学方法和手段等的改革和实践。
一、整合优化教学目标
在OBE的教学理念下，以学生为中心，对教学目标分级设计，借助复变函数与高等数学的关系，积分变换与信号与系统、自动控制原理的关系，构建与混合知识间的联系，达到学生自然学习新知识、自如应用新知识的目的，达到多阶、高阶教学目标。
二、整合优化教学内容和方法
根据学生培养目标和学校办学特，在教学实践中，修改和完善复变函数与积分变换教学内容，进行内容更新和重组，充分利用现代信息技术，满足工程专业的专业需要，注重用数学方法和数学思维能力解决工程问题，着眼于学生基本素质和综合能力的提高。
复变函数与积分变换是高等数学的后续课程，复变函数中很多内容是实变函数的平行推广和延续，包括复变函数的极限与连续、复变函数的导数和微分、复变函数的积分、复数项级数和复变函数项级数的收
敛性。在教学中，要注意类比这些相同之处，高屋建瓴地把握课程的理论知识体系。比如，在学习这些内容时，可以安排学生课前复习相关知识点在高等数学中的定义、性质、相关定理结论等，以便能更快更好地理解课程的相关内容。课中带领学生复习并思考高等数学的内容，课后总结探讨研究函数的方式方法，把握数学分析类课程的实质，化解课程难度。除此之外，课程还有一些特内容：解析函数的性质和解析函数的积分、解析函数的泰勒级数和洛朗级数展开、留数理论和共形映射，积分变换中的Fourier积分变换和La-place积分变换两大内容。所以课程既要与高等数学课程类比相同之处，又要对比不同之处。在学习洛朗级数和留数时，通过知识间的联系，应用讨论、探究的方法，在学习积分变换内容时，讨论、探究复变函数在积分变换中的应用，积分变换在专业中的应用，并且要从类比、对比中学会研究新问题带来的新方法、新思路，理解新理论带来的新现象、新结果。通过课程的学习，理解从实数域到复数域研究的数域转变的新问题，通过解析函数的概念和性质、积分变换的应用理解复变函数研究的必要性，通过解析函数与其实部、虚部的关系理解复变函数研究的可行性，实现看问题视野、角度、方法的拓展，很好地理解从实函数到复变函数的过渡。所以要转变教学方式，才能提升教学质量。
三、改革教学模式
复变函数课程作为高等数学的延续，它涉及的公式、定理多，方法抽象，题目难度大，解题逻辑性强，课程内容量很大。教师应根据学生的学习特点和分析学习程度及时改变教学方式，在教学中整合在线教学与传统教学二者优势，设计与实施以学生为主教师为指导、讲练结合、线上线下的混合式教学模式，
引导学生主动学习，通过混合式教学方法的改革，进行最有效的教。通过拓展资源完成测试、提交作业参与讨论、作业互评课堂讨论等，实施线上线下学习方式的混合，促进学生的深度学习，提高学生的学习质量，使学生进行最有效的学。通过平时成绩与期末成绩的混合，线上测试题与线下闭卷考试题的混合式成绩模式，督促学生主动持续地学习，创造“处处能学、时时可学”的新学习形态，进行线上线下结合的混合式教学模式，运用MOOC、微课、教学微视频资源等方式。
通过实施线上线下的混合式教学模式，能够将知识间的联系呈现在课程体系中，能够将知识传授与价值引领相一致，解决教师教授和学生学习上的困难。通过学习任务的布置，提高学生的紧迫感、参与感，不断优化与提高学习要求。结合课程内容中的相关知识点，设置讨论话题，拓展学生学习与利用知识的广度和深度。通过线上线下的数学思维方法的教学和训练，从而使学生应用复变函数与积分变换的知识和能力有一个新突破，实现全方位育人。
四、综合设计教学，达成多维教学目标
1.通过对问题的分析，理解记忆每章节知识点必需的基本数学知识。
2.通过每章节知识点的引入、推理、练习、总结，掌握数学中分析问题的基本方法及运算技巧，培养和训练逻辑思维、运算和知识迁移能力、重构和应用知识等多种能力，进而解决工程和专业中的问题，形成良好的数学素养。
3.通过作业自评与互评等，提高团队合作、自我和对他人
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的认识。通过数学问题的分析与比较，学习综合知识间的联系，以更高的角度和维度理解知识，为自动控制原理的学习提供解决问题的复变函数与积分变换方法，更为以后的学习提供思考问题的新方式，扩展视野，形成新的价值观。
4.协调推进“课程思政”建设，突出课程教学内容的“思政”功能。树立学生运用数学知识解决问题、科学探索的意识，培养学生良好的学习习惯与创新意识，在课堂设计中实现知识传授与能力提升、价值引领相统一，培养德智体美全面发展的社会主义建设者和接班人。
教学的目的是学生真正地掌握所学知识，并能够学以致用，举一反三，取得最佳的学习效果。复变函数与积分变换课程是工程特突出的应用型课程，所以在课堂教学中注意知识讲授的方式和方法，注重知识讲授与应用结合的教学方法，注重价值引领，并以此为出发点，以应用为导向。复变函数和积分变换
公式概念较多，应用性较强，因此需要较强的数学思维能力和抽象概括能力，所以在学习过程中学生容易感觉很吃力和枯燥。因此要不断思考调整用合适的教学方法和手段更大程度上激发学生学习的兴趣，调动学生学习的自主性和积极性，提高学习兴趣和效率，通过线上线下的混合式教学模式，实现教学的全时空覆盖，让这门课程真正达到既让学生喜欢又让学生能够在专业中应用的目的。
参考文献
［1］西安交通大学高等数学教研室.复变函数［M］.北京：高等教育出版社，2005.
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［6］王智刚，石磊.基于素质教育理念的复变函数教学改革与实践［J］.高师理科学刊，2017，37（1）：70-72.
［7］秦宝侠.基于能力培养的复变函数教学改革研究［J］.齐鲁师范学院学报，2018，33（6）：20-24.
［8］袁亚湘.大学数学重在介绍思想［J］.高等数学研究，2002（3）：4-5.
（作者单位：河南工业大学理学院）
浅谈对一道中考数学试题的解答分析
■马翔远
一、试题呈现
（2020年广东省中考数学试卷）25题图：所示，抛物线y=
x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO=3AO=3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=3CD
（1）求b、c的值
（2）求直线BD的函数解析式
（3）若点P在抛物线的对称轴上且在x轴的下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标
二、试题分析
本题以平面直角坐标系为依托，重视学生的“四基”考查：基本知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学活动经验。
三、试题解答策略分析
（1）问：求b、c的值。方法比较多，学生易于上手，在此不作赘述。
（2）问：求直线BD的函数解析式。
2022恢复线下教学通知河南结合前两问解答，可得点A、B、C、D坐标，可计算△BDA三边长度。根据直线BD
的函数解析式中∣K∣∠ABD= 30°.具体相关数据如下表中所列：
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