2021年山东省聊城一中高考数学一模试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 设集合M ={x|2x >1}，N ={x|x+1
x−1<0}，则M ∩N =(    )
A. [0,1)
B. (0,1)
C. (−1,+∞)
D. (1,+∞)
2. 复数1+√3i 的虚部为(    )
A. 1
B. −1
C. −i
D. i
3. 函数f(x)=
xln|x||x|
的大致图象是(    )
A.
B.
C.
D.
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上
两人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所
得之和与丙、丁、戊三人所得之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，戊所得为(    )
A. 3
4钱
B. 2
3钱
C. 1
2钱
D. 4
3钱
5. 若双曲线
x 2a 2
−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线被圆x 2+y 2−4y +2=0所截得
的弦长为2，则双曲线C 的离心率为(    )
A. √3
B. 2√3
3
C. 2
D. √2
6. 果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h 与其
采摘后时间t(天)满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t .若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度(    )(已知lg2≈0.3，结果取整数)
A. 23天
B. 33天
C. 43天
D. 50天
7. 已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边
BC 相切的圆上，则PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(    )
A. 16+16√5
5    B. 16+8√55
C. 16
山东高考一点通5
D. 56
5
8. 已知函数f(x)={e x +4a,x >0
2−log a (x +1),x ≤0
在定义域上单调递增，且关于x 的方程
f(x)=x +2恰有一个实数根，则实数a 的取值范围为(    )
A. [1
4,1)
B. [14,1
e ]
C. [1
e ,1)
D. (0,1)
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品
率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%.则下列选项正确的有(    )
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为2
7 D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为27
10. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)，将y =f(x)的图象上所有点向右
平移2π
3个单位长度，然后横坐标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数y =g(x)的图象.若g(x)为偶函数，且最小正周期为π
2，则下列说法正确的是(    )
A. y =f(x)的图象关于(π
12,0)对称 B. f(x)在(0,5π
12)上单调递减 C. g(x)≥1
2的解为[π
6+
kπ2
,π3+
kπ2
](k ∈Z)
D. 方程f(x)=g(x
2)在(0,5π
4)上有2个解
11. 如图，正四棱锥S −BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A −SBE 底面边长与
侧棱长均为a ，则下列说法正确的是(    )
A. AS⊥CD
B. 正四棱锥S−BCDE的外接球半径为√2
2
a
C. 正四棱锥S−BCDE的内切球半径为(1−√2
2
)a
D. 由正四棱锥S−BCDE与正三棱锥A−SBE拼成的多面体是一个三棱柱
12.曲率半经是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线x2
a2+y2
b2
=
1(a>0,b>0)上点P(x0,y0)处的曲率半径公式为R=a2b2(x02
a4+y02
b4
)32，则下列说法
正确的是()
A. 对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R
B. 椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>0,b>0)上一点处的曲率半径的最大值为a
C. 椭圆x2
a2+y2
b2
=1(a>0,b>0)上一点处的曲率半径的最小值为b2
a
D. 对于椭圆x2
a2+y2=1(a>1)上一点(1
2
,y0)处的曲率半径随着a的增大而减小
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X123
P 1
2
1−q q−q2
则X的数学期望为______ ．
14.(1−2x)5(1+3x)4的展开式中按x的升幂排列的第3项的系数为______ ．
15.我国南北朝时代的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖暅原理：夹在两个平
行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等(如图1).在xOy平面上，将双
曲线的一支x2
4−y2=1及其渐近线y=1
2
x和直线y=0，y=2围成的封闭图形记为
D，如图2中阴影部分.记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖暅原理试求Ω的体积为______ ．
≤ax+b对于x∈(0,+∞)恒成立，当a=0时，b的最小值为______ ；当a> 16.若lnx+1
x
0时，b
的最小值是______ ．
a
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①b+bcosC=√3csinB；
②(2b−a)cosC=ccosA；③a2+b2−c2=4√3
S△ABC这三个条件中任意选择一个，
3
完成下列问题：
(1)求∠C；
(2)若a=5，c=7，延长CB到D，使cos∠ADC=√21
，求线段BD的长度．
7
18.已知等差数列的首项为2，前n项和为S n，正项等比数列{b n}的首项为1，且满足
a3=2b2，S5=b2+b4．
(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(2)设c n=(−1)n log3S n+log3b n，求数列{c n}的前26项和．
19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=120°，AB=AD=2，
点M在线段PD上，且DM=2MP，PB//平面MAC．
(1)求证：平面MAC⊥平面PAD；
(2)若PA=3，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值．
20.已知某班有50位学生，现对该班关于“举办辩论赛”的态度进行调查，他们综合
评价成绩的频数分布以及对“举办辩论赛”的赞成人数如表：
综合评价成
[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)绩(单位：分)
频数510151055赞成人数4812431
(1)请根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答：是否有95%的把握认为“综
合评价成绩以80分位分界点”对“举办辩论赛”的态度有差异？