第10章 二元一次方程组
10.5 用二元一次方程组解决问题
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能利用方程组解决实际问题
1.掌握列方程组解决实际问题的步骤；
2.掌握常见的实际问题关系式。
知识精讲
知识点 用二元一次方程组解决问题
1.列方程组解应用题的基本思路：
列方程组解应用题就是把实际问题抽象为方程组模型，关键是把已知量和未知量联系起来，出题目中的等量关系。一般地，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；
（3）方程两边的数值要相等。
2.列二元一次方程组解应用题必须出两个等量关系，列出两个方程。
3.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审题：分析题中已知什么、求什么、明确各数量之间的关系；
（2）设未知数：一般求什么，就设什么为；
（3）等量关系；
（4）列方程组：根据等量关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方程组；
（5）解：解所列方程组，求出未知数的值；
（6）检验：检验所求未知数的值是否符合方程组，是否符合实际；
（7）答：写出答案。
4.列二元一次方程组解应用题的常见类型
（1）和差倍分问题：增长量=原有量×增长率；较大量=较小量+多余量；总量=倍数×倍量；
（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是加工总量成比例；
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间；各部分工作量之和=总量；
（4）利润问题：商品售价=标价×折扣率；商品利润=商品售价-商品进价；利润率=；
（5）行程问题：速度×时间=路程；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度；
（6）方案问题：在解决问题时，常常需合理安排，需要从几种方案中选择最佳方案，方案选择题的题干较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳方案。
【即学即练1】甲地某果蔬批发市场计划运输一批蔬菜至乙地出售，为保证果蔬新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为50千米/小时，B型车的平均速度为60千米/小时，从甲地到乙地B型车比A型车少用2小时．
(1)请求出甲乙两地相距多少千米？
(2)已知A2021年型车每辆可运3吨，B型车每辆可运2吨，若从甲地到乙地共需运送蔬菜15吨，则两种型号货车分别需要多少辆可恰好完成运输任务？有哪几种方案？（要求：每种型号货车至少配1辆）
【答案】(1)甲乙两地相距60千米；
(2)共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务．
【分析】（1）设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时，利用路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可；
（2）根据一次运送蔬菜15吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租车方案．
【解析】(1)解：设A型车从甲地到乙地的时间为x小时，则B型车从甲地到乙地的时间为（x-2）小时，
依题意得：50x=60（x-2），
解得：x=12，
50x=60．
答：甲乙两地相距60千米；
(2)解：设计划租用A型车m辆，B型车n辆，
依题意，得：3m+2n=15，
∴m=5-n．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
答：共有2种租车方案，方案1：租用1辆A型车，6辆B型车可恰好完成运输任务；方案2：租用3辆A型车，3辆B型车可恰好完成运输任务．
【即学即练2】某工厂计划生产甲、乙两种产品，已知生产每件甲产品需要4吨A种原料和2吨B种原料，生产每件乙产品需要3吨A种原料和1吨B种原料．该厂现有A种原料120吨，B种原料50吨．
(1)甲、乙两种产品各生产多少件，恰好使两种原料全部用完？
(2)在（1）的条件下，计划每件甲产品的售价为3万元，每件乙产品的售价为5万元，可全部售出．根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨a%，每件乙产品实际售价比计划下降10%，结果全部出售的总销售额比原计划增加了3.5万元，求a的值．
【答案】(1)甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完
(2)
【分析】（1）设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，，进行计算即可得；
（2）用市场变化后的总销售额减去原计划的总销售额即可得．
【解析】（1）解：设甲生产x件，乙生产y件，根据题意得，
由②得，③
将③代入①得：
，
将代入③得：，
解得
则甲生产15件，乙生产20件，恰好使两种原材料全部用完．
（2）解：根据题意得，
．
能力拓展
考法  用二元一次方程组解决实际问题
【典例1】为缓解电力供需矛盾，促进能源绿低碳发展，某市推行峰谷分时电价政策．峰谷分时电价为：峰时（8:00～22:00）每度电0.55元，谷时（22:00～次日8:00）每度电0.3元．小颖家10月份用电120度，缴纳电费61元．
(1)求小颖家10月份，峰时、谷时各用电多少度？
(2)为响应节电政策，小颖11月份计划将20%的峰时用电转移至谷时，这样在她用电量保持不变的情况下能节省电费多少元？
【答案】(1)小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
(2)在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．
【分析】（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据“10月份用电120度，缴纳电费61元”列出二元一次方程组求解即可；
（2）计算出变化后的电费，用61相减即可．
【解析】（1）设小颖家10月份峰时用电x度，谷时用电y度，根据题意得，
解得，
答：小颖家10月份峰时用电100度，谷时用电20度
（2）
=
=5（元）
答：在她用电量保持不变的情况下能节省电费5元．
【典例2】若m是一个两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，m的“最佳邻居数”记作n，令；