2021年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分.
〔1〕当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小，那么
(A)11,6a b ==-. (B)11,6a b ==. (C)11,6a b =-=-. (D)1
1,6
a b =-=.
〔2〕如图，正方形
(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为
四个区域()1,2,3,4k D k =，cos k
k D I y xdxdy =
⎰⎰，那么{}14
max k
k I ≤≤
(A)1I .
(B)2I . (C)3I .
(D)4I .
〔3〕设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为
那么函数()()0
x
F x f t dt =
⎰的图形为
(A)
(B)
x
(C)
(D)
〔4〕设有两个数列{}{},n n a b ，假设lim 0n n a →∞
=，那么
〔A 〕当
1
n
n b
∞
=∑收敛时，
1
n n
n a b
∞
=∑收敛. 〔B 〕当
1
n
n b
∞
=∑发散时，
1n n
n a b
∞
=∑发散.
(C)当
1
n
n b
∞
=∑收敛时，
221
n n
n a b
∞
=∑收敛. (D)当
1
n
n b
∞
=∑发散时，
221
n n
n a b
∞
=∑发散.
〔5〕设123,,ααα是3维向量空间3
R 的一组基，那么由基12311
,
,23
ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为
(A)101220033⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
.
(B)120023103⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
(C)1
112461112461112
4
6⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
.
(D)1112221114441116
6
6⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭
. 〔6〕设,A B 均为2阶矩阵，*
*
,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，假设2,3A B ==，那么分块矩阵O A B O ⎛⎫
⎪⎝⎭
的伴随矩阵为
()A **32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
()B **
23O
B A O ⎛⎫
⎪⎝⎭. ()C **32O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭.
()D **
23O A B
O ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
〔7〕设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ
⎪⎝⎭
，其中()x Φ为标准正态分布函数，那么EX = (A)0.
(B)0.3. (C)0.7.
(D)1.
〔8〕设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布()0,1N ，Y 的概率分布为
{}{}1
012
P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，那么函数()Z F z 的间断点个
数为 (A)0.
(B)1.
(C)2.
(D)3.
二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分.
〔9〕设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数，(),z f x xy =，那么
2z
x y
∂=∂∂ . 〔10〕假设二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12x
y C C x e =+，那么非齐次方程
y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = .
〔11〕曲线(2
:0L y x x =≤≤，那么L
xds =⎰ .
2021考研单科分数线〔12〕设(){}
2
22,,1x y z x
y z Ω=
++≤，那么2z dxdydz Ω
=⎰⎰⎰ .
〔13〕假设3维列向量,αβ满足2T
αβ=，其中T
α为α的转置，那么矩阵T
βα的非零特征值
为 . (14)设12,,
,m X X X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差.
假设2
X kS +为2
np 的无偏估计量，那么k = . 三、解答题：15~23小题，共94分. 〔15〕〔此题总分值9分〕 求二元函数()2
2
(,)2ln f x y x
y y y =++的极值.
〔16〕〔此题总分值9分〕
设n a 为曲线n
y x =与()1
1,2,.....n y x n +==所围成区域的面积，记
12211
1
,n n n n S a S a ∞∞
-====∑∑，求1S 与2S 的值.
〔17〕〔此题总分值11分〕椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成. 〔Ⅰ〕求1S 及2S 的方程
〔Ⅱ〕求1S 与2S 之间的立体体积. 〔18〕〔此题总分值11分〕
〔Ⅰ〕证明拉格朗日中值定理：假设函数()f x 在[],a b 上连续，在(,)a b 可导，那么存在(),a b ξ∈，使得
()()()()f b f a f b a ξ'-=-
〔Ⅱ〕证明：假设函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0
lim x f x A +
→'=，那么()0f +'存在，且()0f A +'=.
〔19〕〔此题总分值10分〕计算曲面积分()
3
2
222
xdydz ydzdx zdxdy
I x
y z
++=
∑
++⎰⎰
，其中
∑
是曲面
222224x y z ++=的外侧.
〔20〕〔此题总分值11分〕
设11111
1042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
. 〔Ⅰ〕求满足21A ξξ=的2ξ. 2
31A ξξ=的所有向量2ξ,3ξ.
〔Ⅱ〕对〔Ⅰ〕中的任意向量2ξ,3ξ证明1ξ,2ξ,3ξ无关.
〔21〕〔此题总分值11分〕设二次型()()2
2
2
1231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-
〔Ⅰ〕求二次型f 的矩阵的所有特征值；
〔Ⅱ〕假设二次型f 的标准形为22
12y y +，求a 的值.
〔22〕〔此题总分值11分〕袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
〔Ⅰ〕求{}
10p X Z ==；
〔Ⅱ〕求二维随机变量(),X Y 概率分布.
〔23〕〔此题总分值11 分〕
设总体X 的概率密度为2,0
()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他
，其中参数(0)λλ>未知，
1X ，2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本.
(Ⅰ)求参数λ的矩估计量； 〔Ⅱ〕求参数λ的最大似然估计量.
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