2022-2023学年上学期期末考试
高二数学
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.已知在空间四边形ABCD 中，12CG CD =        ，则2BD BC AB ++=            （）
A.2AG
B.2GC
C.2BC
D.12    BC 2.若直线l 的斜率为k ，且23k =，则直线l 的倾斜角为（
）A .30 或150    B.45 或135    C.60 或120    D.90 或180
3.已知ABC  的三个顶点是()30A -,
，()6,2B ，()0,6C -，则边AC 上的高所在的直线方程为（）A.220
x y +-=  B.220x y --=C.240x y --=  D.2140
x y +-=4.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺
术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22
221y x a b
-=（0a >，0b >）下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60 ，则该双曲线的离心率为（
）
A
.3
B.
C.2
D.3
5.已知圆22:48120C x y x y ++-+=，过点()4,2P --作圆C 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，则ABC  的面积为（
）A.4
5  B.85  C.16
5  D.32
5
6.已知双曲线22
22x y a b
-＝1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2＝8x 的准线分别交于M ，N 两点，A 为双曲线的右顶点，若双曲线的离心率为2，且△AMN 为正三角形，则双曲线的方程为A.221824x y -=  B.2211648x y -=
  C.2212472x y -=  D.22164192
x y -=
7.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵111ABC A B C -中，11AB AC AA ===，P 为11B C 的中点，则1AC BP ⋅=        （）
A.3
2  B.1  C.3
4  D.1
2
8.在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线C :y 2=2px (0p >)的焦点为F ，直线x =3与抛物线C 交于A ，B 两点，｜AF |=4，圆E 为FAB  的外接圆，直线OM 与圆E 切于点M ，点N 在圆E 上，则OM ON ⋅        的取值范围是（）A.63,925⎡⎤-⎢⎥⎣⎦  B.[]3,21-  C.63,2125⎡⎤⎢⎥⎣⎦  D.[]
3,27二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，1CC 的中点，点P 在线段11B D 上，BP ∥平面EFG ，则（）
A.1D C 与EF 所成角为60︒
B.点P 为线段11B D 的中点
C.三棱锥P EFG -的体积为
13  D.平面EFG 截正方体所得截面的面积为10.已知双曲线22:18
y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，若P 为C 上一点，且17PF =，则（）A.C 的虚轴长为2  B.2PF 的值可能为5C.C 的离心率为3  D.2PF 的值可能为9
11.已知()2
2:11M x y ++= ，点P 是直线:10l x y +-=上动点，过点P 作M  的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则（）
A.M  关于直线l 的对称圆方程()()22121
x y -+-=B.若Q 是M  上动点，则线段PQ 的最大值为1
+
C.线段AB
D.若
3
APB π∠≥，则点P 的轨迹长度为12.如图，过抛物线2:4C x y =焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，过A ，B ，M 分别作准线1l 的垂线，垂足分别为1A 、1B 、N ．则有（）
A.以AB 为直径的圆与1l 相切于点N
B.NF AB
⊥C.111||||FA FB +=  D.2||164||
NF AB +的最小值为8三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.过四点()1,1-、()
1,1-、()2,2、()3,1中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.14.如图，正方体ABC D -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱C 1D 1，A 1D 1的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是_________．湘潭县教师招聘
15.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O 是滑杆上的一个定点，D 可以在滑杆上自由移动，线段
||||3OA AD ==，点E 满足2AE ED =        ，则点E 所形成的椭圆的离心率为____________．
16.已知抛物线21:8
C y x =的焦点为F ，P 为C 上的动点，直线PF 与C 的另一交点为Q ，P 关于点(4,12)N 的对称点为M ．当PQ QM +的值最小时，直线PQ 的方程为________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18至22题为12分）
17.在直三棱柱111ABC A B C -中，已知D 为11B C 的中点，111111,A B A C A B B C =⊥.
（1）证明：1BD B C ⊥；
（2）若底面ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠= ，求直线1B C 与平面ABD 所成角的正弦值.
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面,,60,ABCD AB CD DAB PA PD ∠=⊥ ∥，且2,22PA PD AB CD ====.
（1）证明：AD PB ⊥.
（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.
19.已知命题p ：x R ∀∈，2
1x m +≥；命题q ：方程22122x y m m +=-+表示双曲线．⑴若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
⑵若命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围．
20.已知圆C 的圆心在直线23y x =-上，且与x 轴相交于点M （2，0）和N （4，0）．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若过点()1,1P -的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且AB =，试问符合要求的直线有几条？并求出相应直线l 的方程．
21.已知椭圆22221(0)x y E a b a b +=>>：经过三点()0,1，()1,1，()
中的两点．（1）求E 的方程；
（2）过E 的右焦点的直线l 与E 交于A B ，两点，在直线2x =上是否存在一点D ，使得ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．
22.已知过点()1,0A -的直线与抛物线()2
:20C y px p =>交于不同的两点M ，N ，过点M 的直线交C 于另一点Q ，直线MQ 斜率存在且过点()1,1B -，抛物线C 的焦点为F ，ABF △的面积为1．
（1）求抛物线C 的方程．
（2）问：直线QN 是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．