2024年广东省专升本《高等数学》
黄金考点汇编
第一章函数、极限、连续
第一节函数
考点1：判断函数是否为同一函数
方法：定义域和对应法则都相同的函数为同一函数。1.下列函数()f x 与()g x 为同一函数的是（）
A.()f x x =，()g x x =
B.()f x x =，(
)g x =C.(
)f x =，(
)
g x =
D.()3ln f x x =，()3ln g x x
=【答案】
D
【考点】函数的二要素：定义域、对应法则。
【解析】解：判断函数是否是同一函数，需要定义域、对应法则都一样，是同一函数。A 、B 选项对应法则不一样，C 选项定义域不一样，D 选项定义域和对应法则都一样。考点2：求函数定义域
（1）具体函数求定义域()()
()()()()()(),00
log ,0
arcsin ,arccos ,11a a
f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧≠⎪⎪⎪
≥⎨⎪
>⎪⎪-≤≤⎩
（2）抽象函数求定义域：()(),,f g x f h x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦要使得()(),g x h x 值域要相同，求出x 的范围即可。
1.函数y =的定义域为.
【答案】(][),43,-∞-+∞ 【考点】考查函数的定义域。
【解析】解：()()(][)2120340,,43,x x x x x +-≥-+≥∈-∞-+∞ ，2.设函数()y f x =的定义域为[]2,2-，求函数()24f x -的定义域.【答案】[]
1,3x ∈【考点】考查函数的定义域。
【解析】解：[]2242,13,1,3x x x -≤-≤≤≤∈考点3：函数的解析式、反函数的求法函数的解析式：配凑法，换元法
反函数：反解出()x y ϕ=，互换自变量与因变量。1.已知()1
1f x x
=-则()f f x =⎡⎤⎣⎦（）A.1x -  B.
11
x -  C.1x
-  D.1
1x
-【答案】
D
【考点】求函数的解析式。【解析】解：()11111
111x f f x x x
x =-
=-
=
⎡⎤⎣⎦---
2.已知函数y =，求反函数()1f x -.【答案】
()2
1
2
11x f
x x --=
+【考点】求解反函数。
【解析】解：()22
2122
111,,111x y x y y x f x x y x ----====
+++
考点4：函数的基本性质基本性质：
单调性：利用导数判断，()0f x '>，函数单调递增，求出自变量的范围为单调递增区间；()0f x '<，函数单调递减，求出自变量的范围为单调递减区间。
奇偶性：根据定义判定。函数()f x 的定义域关于原点对称，若
()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数。
关于奇偶函数重要的结论：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇．
有界性（识记常见有界函数)
sin 1,cos 1,sin ,arccos ,arctan 22
x x arc x x x πππ≤≤≤
≤<.周期性（不常考）
1.函数()1ln f x x =+在()0,e 内（）
A.严格单调递增且有界
B.严格单调递减且有界
C.严格单调递增且无界
D.严格单调递减且无界
【答案】
C
【考点】函数的基本性质。【解析】解：()()1广东专升本入口
0,f x f x x
'=
>在()0,e 内是单调递增函数，在()0,e 内，()()00
lim lim 1ln x x f x x +
+
→→=+=-∞，()1ln f x x =+无下界。
2.判断函数(ln y x =+的奇偶性：【答案】奇函数
【考点】函数的基本性质。
【解析】解：(
)(
ln ln
x x
y x x ⎡⎤
-=-+=
)()
ln=ln,
x y x y
⎛⎫
=-=-为奇函数.
第二节极限
考点5：数列的极限
如果当n无限增大时，数列{}n x无限趋近于确定的常数a，那么a就叫
做数列{}n x当n→∞时的极限，记作lim n
n
x a
→∞
=或()
n
x a n
→→∞.
1.根据题意填空：
（1）数列-1，
1
2，-
1
3，
1
4，⋅⋅⋅，其通项为.
【答案】()
1
1n
n
x
n
=-
【考点】求数列的通项公式。
【解析】解：()
1
1n
n
x
n
=-
通项为
（2）设数列1，
1
2，
1
4，
1
8，⋅⋅⋅，，则数列的前n项和n
S=，
lim
n
n
S
→∞
=.
【答案】见解析
【考点】求数列的极限。
【解析】解：111112,21,lim 212212
n
n n n n n n x S S -→∞⎛⎫- ⎪
⎡⎤⎛⎫⎝⎭==
=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-
通项为2.计算极限323265
lim
321x x x x x →∞+-++【答案】
2
3
【考点】求数列的极限。
【解析】解：3
2
3
3236522652lim
lim 21
3213
3x x x x x x x x x x
→∞→∞+
-
+-==++++【总结】：111011100,
lim ,,
m m m m m
n n x n n n
m n a x a x a x a a m n b x b x b x b b m n
---→∞-⎧<⎪
++++⎪==⎨++++⎪⎪∞>⎩  考点6：函数的极限
【总结】计算极限的常用方法：有7种未定式：
000,,,0,1,,00∞∞
∞-∞⋅∞∞∞
1.求下列函数的极限（0,0∞
∞型，又称基本型）方法有：
①约去零因式法（此法适用于00
,0
x x →）;
②除以适当无穷大（适用于()x n →∞→∞时，
∞
∞
）；③分子或分母有理化（适用于带有根号的极限问题）；④通分，倒代换（适用于∞-∞）；⑤利用基本极限公式（适用于0
,10
∞）；