菁优网
如图，在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，抛物线交y轴于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）问点P在何处时，线段PQ最长，最长为多少；
（3）设E为线段OC上的三等分点，连接EP，EQ，若EP=EQ，求点P的坐标．
考点：
二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；等腰三角形的判定．1130352
分析：
（1）直接利用待定系数法将A、B、C的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式和直线的解析式及PQ⊥x轴可以设出P点的横坐标，从而可以表示出P、Q的坐标，再利用P、Q的纵坐标之差表示出PQ的长，最后利用抛物线的最值就可以求出PQ的值及P点的坐标．
试卷网站免费（3）由条件求出E点的坐标，再由条件表示出P、Q的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求出点P的坐标．
解答：
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3），由题意，得
，
解得：
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
∴y=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）；
（2）∵PQ⊥x轴，
∴P、Q的横坐标相同，
∵P点在直线y=x﹣1上，设P（a，a﹣1），则Q（a，﹣a2+2a+3），
∴PQ=﹣a2+2a+3﹣a+1=﹣a2+a+4，
∴PQ=﹣（a﹣）2+，
∴当a=时，线段PQ最长为，则P点坐标为（，﹣）；
（3）∵E为线段OC上的三等分点，且OC=3，
∴E（0，1）或E（0，2），
设P（p，p﹣1）（在y=x﹣1上），则Q（p，﹣p2+2p+3）．
当E（0，1）时，
∵EP=EQ，
∴（p﹣0）2+（p﹣1﹣1）2=（p﹣0）2+（﹣p2+2p+3﹣1）2，
∴p2+（p﹣2）2=p2+（p2﹣2p﹣2）2，
（p﹣2）2=（p2﹣2p﹣2）2，
①当 p2﹣2p﹣2=p﹣2时，
∴p（p﹣3）=0，
∴p=0或3，
当p=0，P（0，﹣1），Q（0，3），
当p=3，P（3，2），Q（3，0），
过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∵直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点，
∴x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
∴P（3，2），Q（3，0）不符合要求舍去；
②p2﹣2p﹣2=﹣p+2，
整理得：p2﹣p﹣4=0，
解得：P1=，p2=，
∵直线y=x﹣1交抛物线于点M、N两点，
∴x﹣1=﹣x2+2x+3，
解得：x1=，x2=，
M的横坐标为，N点的横坐标为，
∵过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q．
∴P点横坐标：大于等于小于等于，
当E（0，2）时，
∵EP=EQ，
∴（p﹣0）2+（p﹣1﹣2）2=（p﹣0）2+（﹣p2+2p+3﹣2）2，
p2+（p﹣3）2=p2+（p2﹣2p﹣1）2，
∴（p﹣3）2=（p2﹣2p﹣1）2．
③当 p2﹣2p﹣1=p﹣3时，
∴（p﹣1）（p﹣2）=0
∴p=1或2．
当p=1时，P（1，0），Q（1，4）
当p=2时，P（2，1），Q（2，3）
④p2﹣2p﹣1=﹣p+3
p2﹣p﹣4=0，
解得：P1=＜﹣1，p2=＞2，
P（，）或（）．
综上所述，P点的坐标为：P（0，﹣1），P（1，0），P（2，1），P（，）或（）．
∵点P在线段MN上，
∴P点的坐标为：P（0，﹣1），P（1，0），P（2，1）．
点评：
本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的判定及性质，两点间的距离公式的运用，二次函数最值的运用．