排列组合应用问题—解题21法
排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得
练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
=1440
34
A A
54
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有
种不同的排法
练习题：某人射击8，命中4，4命中恰好有3连在一起的情形的不同种数为20
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
解：分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有种
练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲
乙丙共有1种坐法，则共有种方法。
思考：可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法)先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有方法
练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法
解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有种不同的排法
练习题：
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42
2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法
六.环排问题线排策略
例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！
练习题：6颗颜不同的钻石，可穿成几种钻石圈120
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有种，再排后4个位置上的特殊元素丙有种，其余的5人在5个位置上任意排列有种，则共有种
练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.
解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
练习题：一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有192 种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.
练习题：
１.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列，要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为
2. 5男生和５女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
练习题：
1．10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？
2.求这个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有，只含有1个偶数的取法有
，和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
排序题十二.平均分组问题除法策略
例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？
解: 分三步取书得种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF)，则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法，故共有种分法。