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专题18 古典概型与统计
一、解答题
(1)估量该地区这种疾病患者的平均年龄〔同一组中的数据用该组区间的中点值为代表〕；
(2)估量该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；
[20,70)(3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选0.1%[40,50)16%一人，假设此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率．〔以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作[40,50)为患者的年龄位于该区间的概率，准确到0.0001〕.
（答案）(1)岁；
47.9(2)；
0.89(3)．
0.0014（解析）
（分析）
〔1〕依据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；
〔2〕设（一人患这种疾病的年龄在区间），依据对立事件的概率公式即可解出；
A =[20,70)()1()P A P A =-〔3〕依据条件概率公式即可求出．
(1) 平均年龄
(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
四级分数分配情况〔岁〕．
550.020650.017750.006850.002)1047.9+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=(2)
设（一人患这种疾病的年龄在区间），所以
A =[20,70)．
()1(1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=(3)
设“任选一人年龄位于区间40,50)〞，“从该地区中任选一人患这种疾病〞，
B =
C =则由已知得：
,
()()16%0.16,0.1%0.001,(|)0.023100.23P B P C P B C =====⨯=则由条件概率公式可得
从该地区中任选一人，假设此人的年龄位于区间，此人患这种疾病的概率为
[40,50)． ()(|)()()0.0010.23(|)0.00143750.0014()0.16
P BC P C P B C C B P B B P P ⨯====≈2．〔内蒙古呼伦贝尔市海拉尔第二中学2023届高三下学期第四次模拟考试数学〔理〕真题〕某职业中专开设的一门学科的考试分为理论考试和实践操作考试两局部，当理论考试合格才能参加实践操作考试，只有理论考试与实践操作考试均合格，才能获得技术资格证书，
如果一次考试不合格有1次补考时机.学校为了掌握该校学生对该学科学习情况，进行了一次调查，随机选取了100位同学的一次考试成绩，将理论考试与实践操作考试成绩折算成一科得分〔百分制〕，制成如下表格： 分段
40，50) 50，60) 60，70) 70，80) 80，90) 90，100] 人数 5 10 a 30 a +5 10
(1)①求表中a 的值，并估算该门学科这次考试的平均分〔同一组数据用该组区间的中点值代表〕；
②在40，50)， 50，60)， 60，70)这三个分数段中，按频率分布情况，抽取7个学生进行教学调研，学校的教务主任要在这7名学生中随机选2人进行教学调查，求这2人均来自60，70)的概率；
(2)该校学生小明在历次该学科模拟考试中，每次理论合格的概率均为，每次考实践操作合格的概率均为(01)p p <<，这个学期小明要参加这门学科的结业考试，小明全力以赴，且每次考试互不影响.如果小明考试的次数的期望不低1
2于2.5次，求的取值范围.
p （答案）(1)①a =20，平均分74；② 2
7
(2) 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
（解析）
（分析）
〔1〕①利用样本总量为100求出，从而估量出平均分，②利用分层抽样得到40，50)， 50，60)， 60，70)分20a =别抽取1人，2人，4人，利用列举法求出古典概型的概率；
〔2〕求出小明考试的考试次数的可能取值及相应的概率，得到考试次数的期望值，列出不等式，求出的取值范围.
p
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(1)
①由题意得：，解得：，
51030510100a a ++++++=20a =， ()14555510652075308525951074100
⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=②40，50)， 50，60)， 60，70)频率之比为1:2:4，抽取7个学生进行教学调研，
故40，50)， 50，60)， 60，70)分别抽取1人，2人，4人，
设抽取的40，50)的学生为， 50，60)的学生为， 60，70)的学生为，
A ,
B
C a b c d ,,，这7名学生中随机选2人进行教学调研，则一共的选法有
，
()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c A d B C B a B b B c B d ，
()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a C b C c C d a b a c a d b c b d c d 共有21种情况，其中这2人均来自60，70)的情况有，共6种情况，
()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 所以这2人均来自60，70)的概率为. 62217
=(2)
小明考试的次数为2次的概率为， ()22131122p p p p +-=-+考试次数为3次的概率为， ()21111222
p p p p p -⨯+=-考试次数为4次的概率为， ()21111222
p p p p -⨯=-考试次数的期望值为， 22223111321342222222p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭所以，解得：， 2352222p p -++≥113
p ≤≤因为，所以 01p <<1 1.3
p ≤<；即的取值范围是. p 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
3．〔黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023届高三第三次模拟考试数学〔文科〕真题〕某经销商采购了一批水果，依据某些评价指标进行打分，现从中随机抽取20筐〔每筐1kg 〕，得分数据如下：17，23，29，31，34，40，46，50，51，51，58，62，62，68，71，78，79，80，85，95．依据以往的大数据认定：得分在区间，，(]0,25(]25,50，内的分别对应四级、三级、二级、一级．
(]50,75(]75,100(1)试求这20筐水果得分的平均数．
(2)用样本估量总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售；
方案1：将得分的平均数换算为等级，按换算后的等级X ；
方案2：分等级X ．
不同等级水果的售价如下表所示：
等级
一级 二级 三级 四级 售价〔万元/吨〕 2 1.8 1.4 1.2
请从经销商的角度，依据售价分析采纳哪种销售方案较好，并说明理由．
（答案）(1) 55.5(2)采纳方案1较好；理由见解析
（解析）
（分析）
〔1〕利用平均数公式进行求解；〔2〕分别计算出方案1与方案2的平均数，比拟后得到答案.
(1)这20筐水果得分的平均数为
(2)方案1：由于得分的平均172329313440465051515862626871787980859555.520
+++++++++++++++++++=数，
(]55.550,75∈所以可以估量这批水果的销售单价为1.8万元/吨．
方案2：设这批水果售价的平均值为万元/吨，由已知数据得，
x 得分在内的有17，23，共2个，所以估量四级水果所占比例为， (]0,25110
得分在内的有29，31，34，40，46，50，共6个，所以估量三级水果所占比例为， (]25,50310
得分在内的有51，51，58，62，62，68，71，共7个，所以估量二级水果所占比例为
， (]50,75720得分在内的有78，79，80，85，95，共5个，所以估量一级水果所占比例为
， (]75,10014
则〔万元/吨〕． 17312 1.8 1.4 1.2 1.674201010x =⨯+⨯+⨯+⨯=所以从经销商的角度考虑，采纳方案1的售价较高，所以采纳方案1较好．
4．〔吉林省吉林市一般中学2023届高三下学期第四次调研测试文科数学真题〕为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子〞，某社区开展“全民反诈在行动——反知识竞赛〞活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩X 人数
[)40,50 2
[)50,60 a
[)60,7022 [)70,80 b
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[
)80,9028
[]90,100 a
(1)求a ，b 的值，并补全频率分布直方图； (2)估量该社区居民竞赛成绩的平均数和方差〔同一组中的数
据用该组区间的中点值作代表〕；
x 2s (3)以频率估量概率，假设，社区获得“反诈先进社区〞称号，假设，社区()(]0.8,0.9P X x s ≥-∈()(]0.9,1P X x s ≥-∈获得“反诈先锋社区〞称号，试推断该社区可获得哪种称号〔s 为竞赛成绩标准差〕？
（答案）(1)；，图见解析
4a =40b =(2)75，100
(3)该社区可获得“反诈先进社区〞称号
（解析）
（分析）
〔1〕依据频率分布直方图与频率分布表求出、的值，从而补全频率分布直方图；
a b 〔2〕依据频率分布直方图中平均数与方差公式计算可得；
〔3〕依据频率分布直方图求出，即可推断；
()
()65P X x s P X ≥-=≥(1)
解：由题可知：，，
0.004101004a =⨯⨯=()10024224028440b =-+++++=所以100名居民竞赛成绩在组内频率/组距为
， [)70,8040100.040100÷=补全频率分布直方图如下：
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