2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试
数学理工农医类四川卷
参考公式：
如果事件A 、B 互斥；那么P A ＋B ＝P A ＋PB  如果事件A 、B 相互独立；那么P A ·B ＝P A ·PB
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ；那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
P n k ＝C k
n p k 1－p n －
k k ＝0;1;2;…;n
球的表面积公式 S ＝4πR 2 其中R 表示球的半径 球的体积公式 V ＝
43
πR 3 其中R 表示球的半径
第一部分 选择题 共60分
本部分共12小题；每小题5分；共60分．
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的．
1．1＋x 7的展开式中x 2的系数是
A ．42
B ．35
C ．28
D ．21
2．复数
2
(1i)2i
-=  A ．1      B ．－1      C ．i      D ．－i
3．函数29
3()3ln(2)3x x f x x x x ⎧-<⎪
=-⎨⎪-≥⎩
，，，在x ＝3处的极限
A ．不存在
B ．等于6
C ．等于3
D ．等于0
A ．101
B ．808
C ．1 212
D ．2 012
4．如图；正方形ABCD 的边长为1；延长BA 至E ；使AE ＝1；连结EC ;ED ；则sin ∠CED ＝
A
B
C
D
5．函数y ＝a x －1
a
a ＞0；且a ≠1的图象可能是
6．下列命题正确的是
A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等；则这两条直线平行
B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等；则这两个平面平行
C ．若一条直线平行于两个相交平面；则这条直线与这两个平面的交线平行
D ．若两个平面都垂直于第三个平面；则这两个平面平行 7．设a ;b 都是非零向量；下列四个条件中；使
||||
=a b a b 成立的充分条件是  A ．a ＝－b      B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
8．已知抛物线x 轴对称；它的顶点在坐标原点O ；并且经过点M 2;y 0．若点M 到该抛物线焦点的距离为3；则|OM |＝
A ．22
B ．23
C ．4
D ．25
9．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元；每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中；要求每天消耗A ;B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划；从每天生产的甲、乙两种产品中；公司共可获得的最大利润是
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
10．如图；半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内；过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ；过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交；所得交线上到平面α的距离最大的点为B ；该交线上的一点P 满足∠BOP ＝60°；则A ;P 两点间的球面距离为
A ．2arccos
4R      B ．π4R
C ．3arccos 3R
D ．π3
R
11．方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ;b ;c ∈{－3;－2;0;1;2;3}；且a ;b ;c 互不相同．在所有这些方程
所表示的曲线中；不同的抛物线共有
A ．60条
B ．62条
C ．71条
D ．80条
12．设函数fx ＝2x －cos x ;{a n }是公差为π
8
的等差数列;fa 1＋fa 2＋…＋fa 5＝5π；则fa 32－a 1a 5＝
A ．0
B ．
21π16      C ．21π8      D ．213π16
第二部分 非选择题 共90分
本部分共10小题；共90分．
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分；共16分..
13．设全集U ＝{a ;b ;c ;d }；集合A ＝{a ;b };B ＝{b ;c ;d }；则U A ∪U B ＝________.
14．如图；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中;M ;N 分别是棱CD ;CC 1的中点；则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．
15．椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ；直线x ＝m 与椭圆相交于点A ;B ．当△F AB 的周长最大时;△F AB 的面积是________．
16．记x 为不超过实数x 的最大整数．例如;2＝2;1.5＝1;－0.3＝－1.设a 为正整数；数列
{x n }满足x 1＝a ;1[]2n n
n a x x x +⎡⎤+⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
n ∈N ．现有下列命题： ①当a ＝5时；数列{x n }的前3项依次为5;3;2；
②对数列{x n }都存在正整数k ；当n ≥k 时总有x n ＝x k ； ③当n ≥1时;x n a 1；
④对某个正整数k ；若x k ＋1≥x k ；则x k a ．
其中的真命题有________．写出所有真命题的编号
三、解答题：本大题共6小题；共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统A 和B ；系统A 和系统B 在任
意时刻发生故障的概率分别为
1
10
和p . 1若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49
50
；求p 的值； 2设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ；求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.
18．
函数2
()6cos
32
x
f x x ωω=-ω＞0在一个周期内的图象如图所示;A 为图象
的最高点;B ;C 为图象与x 轴的交点；且△ABC 为正三角形． 1求ω的值及函数fx 的值域；
2
若0()f x =
；且x 0∈103-;2
3
；求fx 0＋1的值． 19．如图；在三棱锥P －ABC 中;∠APB ＝90°;∠P AB ＝60°;AB ＝BC ＝CA ；平面P AB ⊥平面
ABC ．
1求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； 2求二面角B －AP －C 的大小．
20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ；且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． 1求a 1;a 2的值；
2设a 1＞0；数列110lg
n a a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为T n .当n 为何值时;T n 最大 并求出T n 的最大值．
21．如图；动点M 与两定点A －1;0;B 2;0构成△MAB ；且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．
1求轨迹C 的方程；
2设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ；与轨迹C 相交于点Q ;R ；且|PQ |＜|PR |；求||
||
PR PQ 的取值范围．
22．已知a 为正实数;n 为自然数；抛物线y ＝－x 2＋2
n a
与x 轴正半轴相交于点A ．设fn
为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．
1用a 和n 表示fn ；
2求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；
3当0＜a ＜1时；比较
1
1
()(2)
n
k f k f k =-∑
与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅
-
的大小；并说明理由． 1． D  含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝2
7C x 2＝21x 2；所以x 2的系数是21.
2． B
22(1i)12i i 2i
12i 2i 2i
--+-===-. 3． A  当x ＜3时;33329
lim ()lim
lim (3)63
x x x x f x x x →→→-==+=-； 当x ＞3时;3
3
lim ()limln(2)0x x f x x →→=-=.
由于fx 在x ＝3处的左极限不等于右极限；所以函数fx 在x ＝3处的极限不存在． 4． B  因为四边形ABCD 是正方形；且AE ＝AD ＝1；所以∠AED ＝
π4
.
在Rt △EBC 中;EB ＝2;BC ＝1；所以sin ∠BEC ＝55;cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED ＝sin
π
4
－∠BEC ＝22cos ∠BEC －2
2
sin ∠BEC ＝225510()25510-=. 5． D  当x ＝－1时;y ＝a －1－1
a
＝0;∴函数图象恒过－1;0点；显然只有D 项符合；故选
D 项．
6．C  若两条直线和同一平面所成的角相等；则这两条直线可平行、可异面、可相交;A 项不正确错；
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧；则经过这三个点的平面与这个平面相交;B 项不正确；
如图；平面α∩β=b ;a ∥α;a ∥β；过直线a 作平面ε∩α=c ；过直线a 作平面γ∩β=d ;∵a ∥α;∴a ∥c ;∵a ∥β;∴a ∥d ;∴d ∥c ;∵c α;d
α;∴d ∥α;
又
∵d β;∴d ∥b ;∴a ∥b ;C 项正确；
若两个平面都垂直于第三个平面；则这两个平面可平行、可相交;D 项不正确． 7．C  因为||||=a b a b ；则向量||a a 与||
b b 是方向相同的单位向量；所以a 与b 共线同向；即使
||||
=a b
a b 成立的充分条件为C 项． 8． B  由抛物线定义；知2
p
＋2＝3；所以p ＝2；抛物线方程为y 2＝4x .因为点M 2;y 0在抛物
线上；所以0=22y ±故20||423OM y =+=9． C  设某公司生产甲产品x 桶；生产乙产品y 桶；获利为z 元；则x ;y 满足的线性约束条
件为212,212,00x y x y x x y y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩且且Z,Z,
目标函数z ＝300x ＋400y .
作出可行域；如图中四边形OABC 的边界及其内部整点．
作直线l 0：3x ＋4y ＝0；平移直线l 0经可行域内点B 时;z 取最大值；由212212x y x y +=⎧⎨+=⎩
，，得B 4;4;
满足题意；所以z max ＝4×300＋4×400＝2 800.
10．A  过点A 作AH ⊥平面BCD ;∵平面BCD 与底面所成的角为45°;AO ⊥平面α；且点B 为交线上与平面α的距离最大的点;∴点H 在OB 上；且∠AOB =45°.过点H 作HM ⊥OP ；垂足为M ；连接AM ；在等腰直角三角形AOH 中;AH =OH 2
R .在Rt △HOM 中;∠HOP =60°;∴HM =OH ·
36R =.在Rt △AHM 中;22
22226141441616AM AH HM R R R =+=+==；则在Rt △AMO
中;14144sin 4
R
AOP R ∠==;
∴cos ∠AOP =2
4
;∴2arccos 4AOP ∠=;
∴A ;P 两点的球面距离为2
arccos 4
R .
11． B  因为a ;b 不能为0；先确定a ;b 的值有25A 种；则c 有1
4C 种；即所形成的抛物线有
2154A C 80=条．当b ＝±2时;b 2的值相同；重复的抛物线有1133C C 9=条；当b ＝±3时;b 2的值相同；重复的抛物线有11
33C C 9=条；所以不同的抛物线共有21115433A C 2C C 62-=条．
12． D  因为{a n }是以π8为公差的等差数列；所以a 1＝a 3－π4;a 2＝a 3－π8;a 4＝a 3＋π8
;a 5＝a 3＋π4；则fa 1＝2a 3－π2－cos a 3－π4;fa 2＝2a 3－π4－cos a 3－π
8;fa 3＝2a 3－cos a 3;fa 4＝2a 3＋
π4－cos a 3＋π8;fa 5＝2a 3＋π2－cos a 3＋π4
． 所以fa 1＋fa 2＋fa 3＋fa 4＋fa 5
＝10a 3－cos a 3－π4＋cos a 3－π8＋cos a 3＋cos a 3＋π8＋cos a 3＋π
4
＝10a 3－2cos a 3＋cos a 3＋2cos π
8
cos a 3
＝10a 3－2＋1＋2cos π8cos a 3＝5π.则a 3＝π
2
.
于是a 1＝a 3－π4＝π4;a 5＝a 3＋π4＝3π4;fa 3＝2×π2－cos π
2
＝π.
故fa 32－a 1a 5＝π2－π4×3π4＝2
13π16
.
13．答案：{a ;c ;d } 解析：
四川高考U A ＝{c ;d };
U B ＝{a }；所以
U A ∪
U B ＝{a ;c ;d }．
14．答案：90°
解析：如图；以点D 为原点；以DA ;DC ;DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为2；则1MA ＝2;－1;2;DN ＝0;2;1;10MA DN ⋅=；故异面直线A 1M 与ND 所成角为90°.
15．答案：3
解析：设椭圆的右焦点为F 1；则|AF |＝2a －|AF 1|＝4－|AF 1|; ∴△AFB 的周长为2|AF |＋2|AH |＝24－|AF 1|＋|AH |． ∵△AF 1H 为直角三角形;
∴|AF 1|＞|AH |；仅当F 1与H 重合时;|AF 1|＝|AH |; ∴当m ＝1时;△AFB 的周长最大；此时 S △F AB ＝
1
2
×2×|AB |＝3.