《高等数学》考研同济大学数学系2021考研真题库
第_部分考研真题精选
向量代数与空间解析几何
填空题（把答案填在题中横线上）
点（2,1,0）到平面3x + 4y + 5z = 0 的距离d 二 ________ 。［数一2006 研］【答案】忑
多元函数微分法及其应用
1 设函数f(×,y)ffi⅛(0,0)⅛W,f(0,0) =O z
【解析】由点到平面的距离公式
非零向量d与n垂直，则（）。［数一2020
研］
Iim
J∙( xy5/(Xy))I
应心”"XJ))I
【答案】A查看答
案
【解析】Vf ( X , y )在(O , O )处可微,f(0,0) =0,
E
n
y(XJ )一/©
°
)一人(s°)∙χ- z∕(°,°)∙y _ 0 諜 √X 2 ÷ V 2
X∖∖ Xr ≠ 0
给出下列结论
(ξ)∂f∕∂×∖ (O I O ) =1
正确的个数为（ ）。［数二2020研］2关于函数 Iim /(XJ) - Q(ZO)・.—；；：(Oe)・y = O
.
.厉・(兀儿/(工』))=E(0,0)∙x + ∕(0,0)∙y -/任』
) ■
・・・选
②∂2f∕∂×∂y∖( 0,0)=
1
【答案】B 查看答案
总 o. V)=I im ""H=Ii m 41
Xy "丿 XTo X x→0 X IinI ni)P =Iiin 型二：
当y#0时，J° X Z 汛不存在；
2019年考研数学二真题Hm 门3)P = Iim Z(X -Ql -Q = Iim^ = I 当 y 二 0 日寸 X
XTo X H →O % 综上可知，f χ' （ 0 , y ）不存在。
故∂2f∕∂×∂y∖（0,0）不存在f 因此②错误。
Iinl 砂=O
(Xt yy^O i o) “ xy≠Q
当（X , y ）沿着y 轴趋近于（0,0 ）点时， （M %。/（3）=[⅛√（"）=卿严 0
y→0 y→0
当（X , y ）沿着X 轴趋近于（0,0 ）点时，
鳥騙/"）i⅛1∕（"） =卿2 0 XTQ x→0 ・
I Iim f （X-J 1） = O
综上可知，Elg ） ，故③正确。
④当y = 0时，肉/（S ）=舸“。；
当狞0时，辄/（"）=怏砂"，
故呼（3=0，则卿Wa ）噌故④』【解析】①因" "∕⅛竺⅛手 Z 故①正确。
V-O ，先求 fχ'(O,y)，而
-V
③当XyHO 时， (J%∕(s* ^y==O y→
O
综上，正确个数为3。故应选B O
3函数f ( X , y , z )二χ2y + z2在点(1,2,0)处沿向量U =(1,2,2)的方向导数为( )。［数一2017硏］
A . 12
B . 6
C . 4
D . 2
【答案】D查看答案
【解析】计算方向余弦得:COSa = 1/3 , cosβ = cosγ= 2∕3o偏导数f；二2xy , fy' = X2 , fz'二2z o得df/du = f x,cosa + f y,cosβ + f z,cosγ = 4- ( 1/3 )
÷1∙( 2/3 ) ÷ 0 ( 2/3) =2.
4设f(x,y)具有一阶偏导数，且在任意的(x,y)，都有
则( )。［数二2017 研］
A.f(0,0) >f(l,1)
B.f(O,O) <f(1,1)
C.f(O, 1) >f(l,0)
D.f(O,1) <f(l,0)
【答案】D查看答案【解析】由
0⅛,y) = O
SX
知，函数f(x,y)关于X 单调递增，故f(0, 1) <f(l z 1)；同理，由
沢2)Vo
∂∖'
知，函数f(X, y)关于y 单调递减，故f (1, 1) <f (1,0)，因此f (0, 1) <f(l,0)o
5二元函数z = xy (3-x-y)的极值点是(
)。［数三2017硏］
A. (0,0)
B. (0,3)
C. (3,0)
D. (1,1)
【答案】D 查看答案
［解析】对方程组 z ,χ = y(3-x-y)-xy = y(3-2x-y^) = 0 z ；二工G-X-y)_QKG -玄-2尹)二 0 求解，得驻点(0,0), (0,3), (3,0), (1,1)。逬一步求二阶导:
&2 B —
------------- 二 BXGy ∂1z 二
=3 2x 2y
C = -⅛--2r ◎ _ 2x {
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