2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析
一、选择题
1.（）
为同阶无穷小，则与时，若当=-→k x
x x x k
tan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.
的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.
），（44- 3.
c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值
为（ ）
A.1,0,1
B.1,0,2
C.2,1,3
D.2,1,4
4.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞
=∞
=11n n
n n n
v nu A.
条件收敛n
n n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞
=1n n
n v u
C.
）收敛（n
n n
v u +∑
∞
=1
D.）发散（n
n n
v u +∑∞
=1
5个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*
=Ax A A A 线性无关的
解，则
) ()(=*
A r A.0 B.1 C.2 D.3
6.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22
=+，且4=A ，则二次型
Ax x T 的规范形为
A.232221y y y ++.
B.232221y y y -+.
C.232221y y y --.
D.2
32221y y y ---.
7.设B A ，为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是
A.).()()(B P A P B A P +=Y
B.).()()(B P A P AB P =
C.).()(A B P B A P =
D.).()(B A P AB P =
8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2
σμN ，则{}
1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2
,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.
二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.
9.
()=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+++⨯+⨯∞→n
n n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=232
cos 2sin ππ
＜
＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f x
d 11
4⎰
+=
，则()=⎰x x f x d 10
2
12. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为
2
22500B B A A p p p p +--，则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=
2019年考研数学二真题13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11011
11012a A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，
02
0,2)(x x
x f ）
（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）
（ . 三、解答题
15.已知函数⎩
⎨⎧≤+>=010
)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x
16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求
)
,,(),(y x y x f xy y x g -+-=2
2222y g
y x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2
2
21'x e x
xy y =-满足条件e y =)1(的特解.
（1）求)(x y
（2）区域D {}
)(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x
与x 轴之间图形的面积。 19.设dx x x a n n ⎰
-=
1
21，n=（0，1，2…）
（1）证明数列{}n a 单调减少，且22
1
-+-=n n a n n a （n=2，3…） （2）求1
lim
-∞→n n
n a a .
20.设向量组Ⅰ.,)3,1,1(,)3,2,1(,)4,0,1(,)4,1,1(42321T
T T T a a +=+===αααα Ⅱ..)3,3,1(,)1,2,0(,)3,1,1(2321T
T T a a a +=-=+=βββ
若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a ，并将3β用321,,ααα表示
21.已知矩阵相似与⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022
122 （1）求y x ,，
（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-1
22.已知随机变量
Y
X ，相互独立，X 服从参数为1的指数分布
10,111~<<⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--p p p Y ，令XY Z =.
x
（1）Z 的概率密度 （2）
不相关；
，为何值，Z X p （3）.Z ,X 是否独立
23.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<≥=-- ,0,),(22
2)
(2
μμσσσμx x e A x f x
μ为已知参数，2σ为未知参数，A 常数，
的简单随机样本为取自总体，，，X X X X n Λ21.
（1）求A ；
（2）求2
σ的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析（数学三）
1.D
2.D
3.D
4.B
5.A
6.C
7.C
8.A
9.1-e 10.)2,(-π 11.
)221(18
1
- 12.0.4 13.1 14.
3
2 15. 解：
当0x >时，()()(
)
()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2x x x x x x f x x
e e x x x '''===++. 当0x <；时，()(
)()e 1e e 1e x x x x
f x x x x '
'=+=+=+.
当=0x 时，()01f =，
()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x x
f x x x
+++
+→→→--'====-∞，
()00110lim lim 1x x
x x xe f e x
--
-→→+-'===. 故()()()22ln 2 0
=1e 0x x
x x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得1
12,1x e x -==-.
（1）当()
()()10,,0,x e f x f x -'∈<；单调递减， 当()
()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，
故(
)21
1=e
f e
e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
为极小值. （2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 当()
()()10,,0,x e f x f x -'∈<；单调递减， 故()0=1f 为极大值.
（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<；单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()1
1=1f e ---+为极小值.
16. 解：),(),(y x y x f xy y x g -+-=
)(),(v u v u f f x y
g
f f y x
g '-'-=∂∂'+'-=∂∂ vv uv uu vv uv uv uu
f f f f f f f x
g
''-''-''-=''+''+''+''-=∂∂2)(22 vv uu vv uv uv uu
f f f f f f y
x g
''+''-=''-''+''-''-=∂∂∂1)(12 vv uv uu vv uv uv uu
f f f f f f f y
g
''-''+''-=''+''-''-''-=∂∂2)(22 .312
2222vv uu
f f y g
y x g x g ''-''-=∂∂+∂∂∂+∂∂
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