2004年数学一试题分析、详解和评注
一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为  .
【分析】  本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。
【详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为
          ， 即 .
【评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即 .
本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可到.
（2）已知，且f(1)=0, 则f(x)=   .
【分析】 先求出的表达式，再积分即可。
【详解】 令，则，于是有
        ， 即 
积分得  . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= .
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。
完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.
（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .
【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。
【详解】  正向圆周在第一象限中的部分，可表示为
         
于是 
                  =
【评注】  本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .
（4）欧拉方程的通解为 .
【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。
【详解】  令，则 ，
          ，
代入原方程，整理得
，
解此方程，得通解为   
【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程
          ，
2019年考研数学二真题
可化为       
    完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数学大串讲》P75例12.
（5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则   .
【分析】 可先用公式进行化简
【详解】  已知等式两边同时右乘A，得
，  而，于是有
，  即  ，
再两边取行列式，有  ，
      而 ，故所求行列式为
【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。
完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9
    （6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则=  .
【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。
【详解】  由题设，知，于是
      =
          =
【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。
完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) .  (B)  .  (C) .  (D)  .          [  B  ]
【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
【详解】  ，可排除(C),(D)选项，
又         
                  =，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).
【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序.