2020年山东省各地市中考数学压轴题汇总
1.(2020•临沂)如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,点E是边AB上任意一点(端点除外),线段CE的垂直平分线交BD,CE分别于点F,G,AE,EF的中点分别为M,N.
(1)求证:AF=EF;
(2)求MN+NG的最小值;
(3)当点E在AB上运动时,∠CEF的大小是否变化?为什么?
(2)连接AC,根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC,再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半,即可求解;
(3)延长EF,交DC于H,利用外角的性质证明∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA,再由AF=CF=EF,得到∠AEF=∠EAF,∠FEC=∠FCE,从而推断出∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FEA+∠CEF,从而可求出∠ABF=∠CEF=30°,即可证明.
【解答】解:(1)连接CF,
∵FG垂直平分CE,
∴CF=EF,
∵四边形ABCD为菱形,
∴A和C关于对角线BD对称,
∴CF=AF,
∴AF=EF;
(2)连接AC,
∵M和N分别是AE和EF的中点,点G为CE中点,
∴MN=AF,NG=CF,即MN+NG=(AF+CF),
当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时,
AF+CF最小,即此时MN+NG最小,
∵菱形ABCD边长为1,∠ABC=60°,
即MN+NG的最小值为;
(3)不变,理由是:
延长EF,交DC于H,
∵∠CFH=∠FCE+∠FEC,∠AFH=∠FEA+∠FEA,
∴∠AFC=∠FCE+∠FEC+∠FAE+∠FEA,
∵点F在菱形ABCD对角线BD上,根据菱形的对称性可得:
∠AFD=∠CFD=∠AFC,
∵AF=CF=EF,
∴∠AEF=∠EAF,∠FEC=∠FCE,
∴∠AFD=∠FAE+∠ABF=∠FEA+∠CEF,
∴∠ABF=∠CEF,
∵∠ABC=60°,
∴∠ABF=∠CEF=30°,为定值.
2.(2020•东营)如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=120°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接BE,点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.
(1)观察猜想.
图1中,线段NM、NP的数量关系是 ,∠MNP的大小为 .
(2)探究证明
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值.
(2)先证明△ABD≌△ACE2020年山东公务员考试得BD=CE,再由三角形的中位线定理得NM=NP,由平行线性质得∠MNP=60°,再根据等边三角形的判定定理得结论;
(3)由BD≤AB+AD,得MN≤2,再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN的函数关系式,再由函数性质求得最大值便可.
【解答】解:(1)∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点,
∴MN=BD,PN=CE,MN∥AB,PN∥AC,
∴MN=PN,∠ENM=∠EBA,∠ENP=∠AEB,
∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB,
∵∠ABE+∠AEB=180°﹣∠BAE=60°,
∴∠MNP=60°,
故答案为:NM=NP;60°;
(2)△MNP是等边三角形.
理由 如下:由旋转可得,∠BAD=∠CAE,
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点.
∴MN=BD,PN=CE,MN∥BD,PN∥CE,
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