张㊀岩㊀㊀李㊀丹
(海南三亚学院理工学院ꎬ海南三亚５７２０２２)
摘㊀要：本文从高等数学视角出发ꎬ以高考数学真题为例ꎬ通过把函数展开成泰勒级数ꎬ让函数求导变得容易ꎬ进而快速判断不同种类函数大小.不仅增加了一种解题方法ꎬ也拓宽了学生眼界ꎬ让素质教育落在实处.
关键词：函数ꎻ导数ꎻ泰勒展开
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－００６２－０３
收稿日期:２０２３－０２－０５
作者简介：张岩(１９８１.１２－)ꎬ男ꎬ吉林省四平市人ꎬ硕士ꎬ讲师ꎬ从事应用数学研究ꎻ
李丹(１９８５.１１－)ꎬ女ꎬ河北省保定市人ꎬ硕士ꎬ讲师ꎬ从事数学类课程思政建设研究.
基金项目：三亚学院第二批课程思政建设项目：高等数学(项目编号:ＳＹＪＫＳＺ２０２２１６４)㊀㊀比较数值大小或函数大小是高考数学中的常见题型ꎬ通常作为选择压轴题出现ꎬ而数值通常可以抽象为某个函数的函数值ꎬ因此最终都转化为比较函数大小ꎬ解决这类题型的通常做法是作差㊁求导㊁判断单调性ꎬ从而确定函数差的符号ꎬ最终确定函数大小.但在具体问题中ꎬ往往没有这么简单ꎬ难点是导数符号并不好判断ꎬ可能需要求两次甚至三次导数ꎬ才能讨论出导数的正负号ꎬ过程较为繁琐ꎬ学生往往不到解题思路.如果以高等数学中的泰勒展开为工具ꎬ通过放缩比较函数间的大小或是求导通过单调性比较大小ꎬ都会变得十分简单ꎬ下面通过具体例子来展现泰勒展开的强大威力.
例１㊀(２０２２年新高考Ⅰ卷第７题)设ａ＝０.１ｅ０.１ꎬｂ＝
１
９
ꎬｃ＝－ｌｎ０.９ꎬ则(㊀).
Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｃ<ｂ<ａＣ.ｃ<ａ<ｂ
Ｄ.ａ<ｃ<ｂ
解法１㊀由于０.９＝１－０.１ꎬ故可将ｃ＝－ｌｎ０.９写成ｃ＝－ｌｎ(１－０.１)ꎬ把ｂ＝
１９写成ｂ＝０.１１－０.１
.又由于０.１接近于０ꎬ把０.１抽象成变量ｘꎬ进而把ａ㊁ｂ㊁ｃ分别抽象成函数ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｇ(ｘ)＝
ｘ
１－ｘ
ꎬｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)ꎬ比较ａ㊁ｂ㊁ｃ的大小ꎬ也就是比较ｈ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｆ(ｘ)在ｘ＝０.１处的大小.
用比差法与单调性比较大小ꎬ令Ｈ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ－
ｘ
１－ｘ
ꎬＨ(０)＝０ꎬＨᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘｅｘ－(１－ｘ)＋ｘ(１－ｘ)２＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２－１
(１－ｘ)２
.
当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬ(１－ｘ)２>０ꎬｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２
－１的符号不确定ꎬ令ｋ(ｘ)＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)２－１ꎬ
ｋ(０)＝０ꎬｋᶄ(ｘ)＝ｅｘ(１－ｘ)(－ｘ２－３ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ
１)时ꎬｅｘ>０ꎬ１－ｘ>０ꎬ－ｘ２－３ｘ<０ꎬ所以ｋᶄ(ｘ)<０ꎬｋ(ｘ)单调递减ꎬｋ(ｘ)<０ꎬ所以Ｈᶄ(ｘ)<０ꎬＨ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递减ꎬＨ(ｘ)<０ꎬ即ｈ(ｘ)<ｇ(ｘ)ꎬ所以
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ａ<ｂ.
同理ꎬ令Ｆ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋ｌｎ(１－ｘ)ꎬＦ(０)＝０ꎬＦᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｘｅｘ－１１－ｘ＝
ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)－１
１－ｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.１]时ꎬ分母１－ｘ>０ꎬ令ｔ(ｘ)＝ｅｘ(１＋ｘ)(１－ｘ)－１ꎬｔᶄ(ｘ)＝(１－２ｘ
－ｘ２)ｅｘꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.１]时ꎬｔᶄ(ｘ)>０ꎬ所以Ｆᶄ(ｘ)>０ꎬＦ(ｘ)在(０ꎬ０.１]上单调递增ꎬ在(０ꎬ０.１]上Ｆ(ｘ) >０ꎬ即ｈ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ所以ａ>ｃ.
综上ꎬｃ<ａ<ｂꎬ故选Ｃ.
解法２㊀将ｈ(ｘ)＝ｘｅｘꎬｇ(ｘ)＝ｘ１－ｘꎬｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)展开成泰勒级数ꎬ再比较大小ꎬ
ｈ(ｘ)＝ｘｅｘ＝ｘ＋ｘ２＋ｘ３２!＋ｘ４３!＋ ꎬ
ｇ(ｘ)＝ｘ１－ｘ＝ｘ＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ ꎬ
ｆ(ｘ)＝－ｌｎ(１－ｘ)＝ｘ＋ｘ２２＋ｘ３３＋ｘ４４＋
当ｘ>０ꎬ显然ｇ(ｘ)>ｈ(ｘ)ꎬｇ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ因此ｂ>ａꎬｂ>ｃ.
ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘ２２＋ｘ３６－ｘ４１２－ ꎬ当ｘ＝０.１时是否大于零?
ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｘ２２＋ｘ３３＋ｘ４４＋ <ｘ＋ｘ２２(１＋ｘ＋ｘ２＋ )＝ｘ＋ｘ２２(１－ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１２)时ꎬｘ２２(１－ｘ)<ｘ２ꎬ即ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｘ２２(１－ｘ)<ｘ＋ｘ２<ｈ(ｘ)ꎬ所以ｈ(ｘ)－ｆ(ｘ)>０ꎬ即ａ>ｃꎬ
综上ꎬｂ>ａ>ｃ
有些函数的泰勒展开各项间是正负交错的ꎬ利用放缩法不容易判断符号ꎬ但是泰勒展开会使求导变得容易ꎬ利用泰勒展开的导数判断单调性也可以比较函数大小ꎬ见下面的例２.
例２㊀(２０２２年高考甲卷(理科)第１２题)已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则(㊀㊀).
Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ
Ｃ.ａ>ｂ>ｃＤ.ａ>ｃ>ｂ
解析㊀由于１４较接近于０ꎬ因此把１４抽象成变量ｘꎬ把ａ＝３１３２＝１－１３２抽象成函数ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４抽象成函数ｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘꎬｃ＝４ｓｉｎ１４抽象成函数ｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘꎬ将ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘꎬｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘ展开成泰勒级数:
ｆ(ｘ)＝１－１２ｘ２ꎬ
ｇ(ｘ)＝ｃｏｓｘ＝１－ｘ２２!＋ｘ４４!－ｘ６６!＋ ꎬ
ｈ(ｘ)＝１ｘｓｉｎｘ＝１－ｘ２３!＋ｘ４５!－ｘ６７!＋ ꎬ
ｄ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝ｘ４４!－ｘ６６!＋ ꎬ
ｄ(０)＝ｄᶄ(０)＝ｄᵡ(０)＝ｄ‴(０)＝０<ｄ(４)(０)＝１ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１４]时ꎬｄ(４)(ｘ)>０ꎬｄ‴(ｘ)单调递增ꎬｄ‴(ｘ)>０ꎬｄᵡ(ｘ)单调递增ꎬｄᵡ(ｘ)>０ꎬｄᶄ(ｘ)单调递增ꎬｄᶄ(ｘ)>０ꎬｄ(ｘ)单调递增ꎬｄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)>ｆ(ｘ)ꎬ即ｂ>ａ.
同理ꎬ令ε(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝
ｘ２
３－ｘ４３０＋ｘ６８４０－ ꎬ显然ε(０)＝εᶄ(０)＝０<εᵡ(０)＝２３.
当ｘɪ(０ꎬ１４]时ꎬεᵡ(ｘ)>０ꎬεᶄ(ｘ)单调递增ꎬεᶄ(ｘ) >０ꎬε(ｘ)单调递增ꎬε(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ即ｃ>ｂ.
综上ꎬ即ｃ>ｂ>ａ.
泰勒展开可以辅助求导ꎬ一阶导数就是一次项系数ꎬ二阶导数是二次项系数的２倍ꎬ三阶导数是３次项系数的６倍ꎬ四阶导数是４次项系数的２４倍ꎬ在零点附近作泰勒展开ꎬ这点的各阶导数由泰勒展开系数决定ꎬ这就是泰勒展开决定求导.泰勒展开的优势不是不求导数ꎬ而是导数很容易求ꎬ由
三亚学院３６
导数的符号逐级反推函数的单调性和正负ꎬ最终比较出两个函数的大小ꎬ上面的过程还可以进一步简化ꎬ见例３.
例３㊀(２０２１年全国乙卷(理科)第１２题)已知ａ＝２ｌｎ１.０１ꎬｂ＝ｌｎ１.０２ꎬｃ＝
１.０４－１ꎬ则(㊀㊀).
Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀㊀㊀Ｂ.ｂ<ｃ<ａ
Ｃ.ｂ<ａ<ｃ
Ｄ.ｃ<ａ<ｂ
解析㊀由于１.０１＝１＋０.０１ꎬ１.０２＝１＋０.０２ꎬ１.０４＝１＋０.０４ꎬ０.０１更接近于０ꎬ把０.０１抽象成变量ｘꎬ因此ａ㊁ｂ㊁ｃ可以分别抽象为ｆ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１＋２ｘ)ꎬｈ(ｘ)＝
１＋４ｘ－１ꎬ问题转
化成比较ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)在０.０１处的大小ꎬ把ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)展开成泰勒级数:
ｆ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)＝２ｘ－ｘ２＋２３ｘ３－１２
ｘ４
＋ ꎬｇ(ｘ)＝ｌｎ(１＋２ｘ)＝２ｘ－
１２(２ｘ)２＋１
３
(２ｘ)３－１４(２ｘ)４＋ ＝２ｘ－２ｘ２＋８
３
ｘ３－４ｘ４＋ ꎬｈ(ｘ)＝
１＋４ｘ－１＝２ｘ－２ｘ２
＋４ｘ３
－８ｘ４
＋ .
这又是正负交错的泰勒展开ꎬ可以预估它们在０处的导数值ꎬｆ(０)＝ｇ(０)＝ｈ(０)ꎬｆᶄ(０)＝ｇᶄ(０)＝ｈᶄ(０)＝２ꎬｆᵡ(０)＝－２>ｇᵡ(０)＝ｈᵡ(０)＝－４ꎬ说
明在零附近ｆ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬｆ(ｘ)>ｈ(ｘ).又ｇ‴(０)＝１６<ｈ‴(０)＝２４ꎬ说明当ｘ足够小时ꎬｇ(ｘ)<ｈ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)>ｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ当ｘ足够小时ꎬａ>ｃ>ｂꎬ那么ｘ＝０.０１是否足够小呢?再用ｆ(ｘ)㊁ｇ(ｘ)㊁ｈ(ｘ)之间差的导数检验一下:
ｄ(ｘ)＝ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝１＋４ｘ－１－ｌｎ(１＋２ｘ)ꎬｄ(０)＝０ꎬｄᶄ(ｘ)＝
２１＋４ｘ
－２
１＋２ｘ＝２ (１＋２ｘ)－１＋４ｘ
１＋４ｘ(１＋２ｘ)ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ分母
１＋４ｘ(１＋２ｘ)>０ꎬ令ε(ｘ)＝(１＋２ｘ)－１＋４ｘꎬε(０)＝０ꎬεᶄ(ｘ)＝２－２
１＋４ｘ
ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ１＋４ｘ>１ꎬ０<
１
１＋４ｘ
<１ꎬ
２１＋４ｘ<２ꎬεᶄ(ｘ)＝２－２
１＋４ｘ
>０ꎬ所以ε(ｘ)单调递增ꎬε(ｘ)>０ꎬ即ｄᶄ(ｘ)>０ꎬｄ(ｘ)单调递增ꎬｄ(ｘ)>０ꎬ所以ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬｈ(ｘ)>ｇ(ｘ)ꎬ即ｃ>ｂ.
δ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｈ(ｘ)＝２ｌｎ(１＋ｘ)－(
１＋４ｘ－
１)＝２ｌｎ(１＋ｘ)－
１＋４ｘ＋１ꎬδ(０)＝０ꎬ
δᶄ(ｘ)＝
２１＋ｘ－２１＋４ｘ＝２ １＋４ｘ－(１＋ｘ)
(１＋ｘ)１＋４ｘ
ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ分母(１＋ｘ)
１＋４ｘ>０ꎬ
令α(ｘ)＝１＋４ｘ－(１＋ｘ)ꎬα(０)＝０ꎬαᶄ(ｘ)
＝
２１＋４ｘ－１＝２－１＋４ｘ
１＋４ｘ
ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬ０<１＋４ｘ<２ꎬ２－
１＋４ｘ>０ꎬαᶄ(ｘ)>０ꎬα(ｘ)单调
递增ꎬ即α(ｘ)>０ꎬδᶄ(ｘ)>０ꎬδ(ｘ)单调递增ꎬδ(ｘ)>０ꎬ所以ꎬ当ｘɪ(０ꎬ０.０１]时ꎬｆ(ｘ)>ｈ(ｘ)ꎬ即ａ>ｃ.
综上ａ>ｃ>ｂ.
验证了泰勒展开估计ａ㊁ｂ㊁ｃ大小的正确性ꎬ泰勒展开可以指挥求导ꎬ从而快速判断函数大小.
以上方法就是把指数函数㊁对数函数用泰勒展开变成无穷级数ꎬ只用加减乘除就能判定函数取值的大小ꎬ比导数更容易被中学生掌握ꎬ只需背诵几个常用的展开式ꎬ威力比导数更强大.高考中能否允许使用泰勒展开?如果是选择题完全不需要担心ꎬ因为选择题只看结果不看方法ꎬ如果是解答题ꎬ担心不让用ꎬ也可以在草纸上写出泰勒展开公式ꎬ通过泰勒公式指挥求导发现求几次导才不为０ꎬ
然后胸有成竹地在答题卡上按部就班地写出高考的标准解法.
参考文献:
[１]李尚志.大学视角下的中学数学(泰勒展开)
[Ｊ].数学通报ꎬ２０１９ꎬ５８(０８):１－５.
[责任编辑：李㊀璟]
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