题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A为n阶矩阵，k为常数，则(kA)*等于( )．
A．kA*
B．knA*
C．kn－1A*
D．kn(n－1)A*
正确答案：C
解析：因为(kA)*的每个元素都是kA的代数余子式，而余子式为n－1阶子式，所以(kA)*=kn－1A*，选
C． 知识模块：线性代数
2． 设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经初等行变换化为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．
A．β4不能由β1，β2，β3线性表示
考研是怎么个流程B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一
C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一
D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定
正确答案：C
解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以α4可由α1，α2，α3唯一线性表示，又A=(α1，α2，α3，α4)经过有限次初等行变换化为B=(β1，β2，β3，β4)，所以方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4与x1β1+x2β2+x3β3=β4是同解方程组，因为方程组x1α1+x2α2+x3α3=α4有唯一解，所以方程组x1β1+x2β2+x3β3=β4有唯一解，即β4可由β1，
β2，β3唯一线性表示，选
C． 知识模块：线性代数
3． 设α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βs为两个n维向量组，且r(α1，α2，…，αm)=r(β1，β2，…，βs)=r，则( )．
A．两个向量组等价
B．r(α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βs)=r
C．若向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βs线性表示，则两向量组等价
D．两向量组构成的矩阵等价
正确答案：C
解析：不妨设向量组α1，α2，…，αm的极大线性无关组为α1，α2，…，αr，向量组β1，β2，…，βs的极大线性无关组为β1，β2，…，βr，若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βs
线性表示，则α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr线性表示，若β1，β2，…，βr不可由α1，α2，…，αr线性表示，则β1，β2，…，βs也不可由α1，α2，…，αm线性表示，所以两向量组的秩不等，矛盾，选
C． 知识模块：线性代数
4． 设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n阶矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是( )．
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(2)(4)
D．(3)(4)
正确答案：B
解析：若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n－r(A)≤n－r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选
B． 知识模块：线性代数
5． 设A，B为n阶矩阵，且A，B的特征值相同，则( )．
A．A，B相似于同一个对角矩阵
B．存在正交阵Q，使得QTAQ=B
C．r(A)=r(B)
D．以上都不对
正确答案：D
解析：令A=，显然A，B有相同的特征值，而r(A)≠r(B)，所以A，B，C都不对，选
D． 知识模块：线性代数
6． 设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有XTAX=0，则( )．
A．｜A｜=0
B．｜A｜＞0
C．｜A｜＜0
D．以上都不对
正确答案：A
解析：设二次型f=XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32，其中Q为正交矩阵．取Y=，则f=XTAX=λ1=0．同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A． 知识模块：线性代数
填空题
7． 设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，则｜B－1+2E｜=_______。
正确答案：60
解析：因为｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，所以A的三个特征值为，1，又A～B，所以B的特征值为，1，从而B－1的特征值为1，2，3，则B－1+2E的特征值为3，4，5，故｜B－1+2E｜=60． 知识模块：线性代数
8． =_______。
正确答案：
解析：=E12，因为Eij－1=Eij，所以Eij2=E，于是 知识模块：线性代数
9． 设λ1，λ2，λ3是三阶矩阵A的三个不同特征值，α1，α2，α3分别是属于特征值λ1，λ2，λ3的特征向量，若α1，A(α1+α2)，A2(α1+α2+α3)线性无关，则λ1，λ2，λ3满足_______。
正确答案：λ2λ3≠0
解析：令x1α1+x2A(α1+α2)+x3A2(α1+α2+α3)=0，即(x1+λ1x2+λ12x3)α1+(λ2x2+λ22x3)α2+λ32x3α3=0，则有x1+λ1x2+λ12x3=0，λ2x2+λ22x3=0，λ32x3=0，因为x1，x2，x3只能全为零，所以λ2λ3≠0． 知识模块：线性代数
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
10． 设A=(aij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．
正确答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0． 涉及知识点：线性代数
设A=E－ααT，其中α为n维非零列向量．证明：
11． A2=A的充分必要条件是α为单位向量．
正确答案：令αTα=k，则A2=(E－ααT)(E－ααT)=E－2ααT+kααT，因为α为非零向量，所以ααT≠O，于是A2=A的充分必要条件是k=1，而αTα=‖α‖2，所以A2=A的充要条件是α为单位向量． 涉及知识点：线性代数
12． 当α是单位向量时A为不可逆矩阵．
正确答案：当α是单位向量时，由A2=A得r(A)+r(E－A)=n，因为E－A=ααT≠O，所以r(E－A)≥1，于是r(A)≤n－1＜n，故A是不可逆矩阵． 涉及知识点：线性代数
13． 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT．
正确答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令A=，于是A=(b1 b2 … bn)，令α=，β=，故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1． 涉及知识点：线性代数
14． 设A为n阶矩阵，若Ak－1α≠0，而Akα=0．证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．
正确答案：令l0α+l1Aa+…+lk－1Ak－1α=0 (*)(*)两边同时左乘Ak－1得l0Ak－1α=0，因为Ak－1α≠0，所以l0=0；(*)两边同时左乘Ak－2得l1Ak－1α=0，因为Ak－1α≠0，所以l1=0，依次类推可得l2=…=lk－1=0，所以α，Aα，…，Ak－1α线性无关． 涉及知识点：线性代数
15． a，b取何值时，方程组有解?
正确答案：(1)a≠1时，r(A)==4，唯一解为x1=，x4=0；(2)a=1，b≠－1时，r(A)≠，此时方程组无解；(3)a=1，b=－1时，通解为X=k1(1，－2，1，0)T+k2(1，－2，0，1)T+(－1，1，0，0)T(k1，k2为任意常数)． 涉及知识点：线性代数
16． 设(Ⅰ)的一个基础解系为，写出(Ⅱ)的通解并说明理由．
正确答案：令A=，则(Ⅰ)可写为AX=0，则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，Aβ1=Aβ2=…=Aβn=0A(β1，β2，…，βn)=OBAT=O．α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．得通解为k1α1T+k2α2T+…+knαnT(k1，k1，…，kn为任意常数)． 涉及知识点：线性代数
17． 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)==r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．
正确答案：因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn－r．设η0为方程组AX=b的一个特解，令β0=η0，β1=ξ1+η0，β2=ξ2+η0，…，βn－r=ξn－r+η0，显然β0，β1，β2，…，βn－r为方程组AX=b的一组解．令k0β0+k1β1+…+kn－rβn－r=0，即(k0+k1+…+kn－r)η0+k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，上式两边左乘A得(k0+k1+…+kn－r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0+k1+…+kn－r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn－rξn－r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn－r线性无关，所以k1=k2=…=kn－r=0，故β0，β1，β2，…，βn－r线性无关，即方程组AX=b存在由n－r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn－r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2－β1，γ2=β3－β1，…，γn－r+1=βn－r+2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn－r－1线性无关，又γ1，γ2，…，γn－r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n－r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n－r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n－r+1个． 涉及知识点：线性代数
设A=相似于对角阵．求：
18． a及可逆阵P，使得P－1AP=Λ，其中Λ为对角阵.
正确答案：｜λE－A｜=0λ1=λ2=1，λ3=－1．因为A相似于对角阵，所以r(E－A)=1(E－A)X=0的基础解系为ξ1=(0，1，0)T，ξ2=(1，0，1)T，(－E－A)X=0的基础解系为ξ3=(1，2，－1)T，令P=(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP=diag(1，1，－1)． 涉及知识点：线性代数
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