2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=
（）
湖南高考报名入口A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）
3．在四边形ABCD中， =（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）
A．2B．13 C． D．26
4．执行如图所示的程序，则输出的结果为（）
A．B．C．D．
根据上表可得回归直线=2x﹣a．则预测身高为180cm的学生的体重为（）
A．73kg B．75kg C．77kg D．79kg
6．已知向量=（a n，1），=（a n+1，2），且a1=1．若数列{a n}的前n项的和为S n，且∥，则S n=（）
A．2n﹣1 B．1﹣2n C．2﹣（）n﹣1D．（）n﹣2
7．已知实数x、y满足，目标函数z=x+y，则z的最大值为（）
A．3 B．2 C．D．
8．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（）
A． B． C．D．
9．能够把圆x2+y2=R2的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的“和谐函数”，下列函数不是圆x2+y2=4的“和谐函数”的是（）
A．f（x）=2x+B．f（x）=tan C．f（x）=x3+x D．f（x）=ln
10．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）是幂函数，对任意的x1、x2∈（0，+∞），且
x1≠x2，满足＜0，若a、b∈R，且a+b＞0，ab＜0，则f（a）+f（b）的
值（）
A．恒小于0 B．恒大于0 C．等于0 D．无法判断
11．将函数f（x）=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移
个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下面对函数y=g（x﹣）+g（x）的叙述正确的是（）
A．函数的最大值为2，最小值为﹣2
B．x=是函数的一条对称轴
C．函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z
D．将y=g（x﹣）+g（x）图象向左平移个单位得到函数y=sin2x的图象
12．已知直线l与双曲线﹣=1交于A、B两点，现取AB的中点M在第一象限，并且在抛物线y2=4x上，M到抛物线焦点的距离为2，则直线l的斜率为（）
A．1 B．2 C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
13．已知x∈[0，π]，使sinx≥的概率为_______．
14．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为_______．
15．已知数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n=a n+1﹣a n（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12．则a10=_______．
16．设过曲线f（x）=e x+x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=2cosx﹣ax上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为_______．
三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）
17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin2+cos2B=1．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范围．
18．某媒体对“推迟退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的
（1）是否有99.9%的把握认为赞同“推迟退休”与职业有关？
（2）用分层抽样的方法从赞同“推迟退休”的人员中随机抽取6人作进一步调查分析，将
附：K2=．
19．如图：四边形ABCD为等腰梯形，且AD∥BC，E为BC中点，AB=AD=BE．现沿DE将△CDE 折起成四棱锥C′﹣ABED，点O为ED的中点．
（1）在棱AC′上是否存在一点M，使得OM⊥平面C′BE？并证明你的结论；
（2）若AB=2，求四棱锥C′﹣ABED的体积的最大值．
20．已知圆C过定点A（0，p），圆心C在抛物线x2=2py（p＞0）上，圆C与x轴交于M、N
两点，当C在抛物线顶点时，圆C与抛物线的准线交于G、H，弦GH的长为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当圆心C在抛物线上运动时．
①|MN|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②记|AM|=m，|AN|=n．求+的最大值，并求出此时圆C的方程．
21．设函数f（x）=alnx﹣bx2，a，b∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处与直线y=﹣相切；
①求实数a，b的值；
②求函数f（x）在[，e]上的最大值；
③当b=0时，若不等式f（x）≥m+x对所有的a∈[0，]，x∈（1，e2]都成立，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．
（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；
（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
线C1：（α为参数），曲线C2：（θ为参数）．
（1）化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C2上的点P对应的参数为θ=，Q为C1上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosβ﹣sinβ）=6距离的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；
（Ⅱ）使f（x）≥m恒成立的实数m的最大值为t，若a、b均为正实数，且满足a+b=2t．求a2+b2的最小值．
2016年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知i为虚部单位，若（1﹣i）z=2i，则z的虚部为（）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由（1﹣i）z=2i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则
答案可求．
【解答】解：由（1﹣i）z=2i，
得=．
则z的虚部为：1．
故选：C．
2．已知全集U=R，集合A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}，集合B={x|（）x＜9}，则（∁U A）∪B=
（）
A．（﹣2，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．（1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|（x﹣1）（x+3）≥0}={x|x≥1或x≤﹣3}，
则∁U A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|（）x＜9}={x|x＞﹣2}
则（∁U A）∪B={x|x＞﹣3}，
故选：B
3．在四边形ABCD中， =（2，3），=（6，﹣4），则该四边形的面积为（）
A．2B．13 C． D．26
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为0，求得向量的模，由四
边形的面积公式||•||，计算即可得到所求．
【解答】解：由=（2，3），=（6，﹣4），
可得•=2×6+3×（﹣4）=0，
即AC⊥BD，
又||==，||==2，
则该四边形的面积为||•||=××2=13．
故选：B．