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南开大学
2006 年数分考研试题
t
tx 2  dx
1. 求极限 lim
sin
0
t
4
.
t
0
山东省公务员考试网报名
1
1
1
1
x1
x2
x3
xn
n
u
n n
1
2. 设 u
2
2
2
2
，试证
xi
x1
x2
x3
xn
xi
2
u .
i
1
x1n  1
x2n  1
x3n  1
xnn  1
3. 设 f
x 在 0,2
上有界可积，
2
x
dx
0 ，求证存在 a
0,1 ,
f
0
a
1
x
dx
0
.
使得
a
f
4. 若幂级数
an xn
在
1,1
内收敛于  f
x
，设
0
xn
1,1
，满足 lim xn    0 和
n
0
n
f
xn
0 ， n
1,2
，则 f
x
0 ，对所有 x
1,1 .
5. 设函数 f
x
在
,
有任意阶导数， 且导数数列  f
n
人力资源和社会保障局网上办事
在
,
一致收敛
x
于
x ，
0
1，求证
x
ex .
6. 设 f
x, y, z
在球
x, y, z
: x2
y2
z2
1
上连续，令
B r
x, y, z : x2
y2
z2
r 2  ， S r
x, y, z : x2
y2
z2
r 2  , r
0 ，
求证 d
f
x, y, z
dxdydz
f
x, y, z dS , r
0,1 .
dr B r
S r
7.设 f  x, y, z 在全空间上具有连续的偏导数，  且关于 x, y, z 都是周期的， 即对任意
公务员登录账号忘记了
点  x, y, z ，成立 f  x
1, y, z
f
x, y
1, z
f  x, y, z  1
2015年国家线
f
x, y, z  ，则对任意实
数  ,  ,
，有
f
f
f
dxdydz
0 ，
x
y
z
这里
0,1
0,1
0,1 是单位方体 .
x
8. 设 A 为三阶实对称方阵，定义函数
h x, y, z
x, y, z A
y
，
z
求证 h
x, y, z
在条件 x2
y 2
z2
1 下的最大值为矩阵  A 的最大特征值 .

1

9. （1）设数列 an
0 ，满足 an
0 ，  n
，定义集合 P
kai  : k
Z , i  N  ,
Z 为整数集， N 为自然数集，
求证对任何实数 b ，存在数列 bk
P ，使得 lim bk
b ；
k
(2) 试证 一个非常数的周期连续函数必有最小正周期  .
10. 设
x 是
,
1
x dx  0
上的周期连续函数，周期为
1，且
，
0
令 an
1
nx dx ， n  1,2,
an2  收敛 .
ex
，求证级数
0
n
1
南开大学  2006 年数学分析考研试题解答
1、解
当 t
0  时，
令 tx2
y ， dx
2
1
dy ，
yt
t 3
1
sin y
dy
0
2
y
t
原式
lim
t
4
t
0
t3
sin y
sin t 3
2
0
2
dy
3
3t
lim
y
lim  2  t
9
7
t  0
t 2
t
0
9 t 2
2
lim
sin t 3
1 .
t
0
3t3
3
当 t
0
时，同理
t
sin  tx 2  dx
lim
0
1
t
4
3
t  0
t
sin
tx 2
dx
故 lim
0
1 .
4
t  0
t
3
2、证明    将行列式按第一列展开
u  A11
x1 A21
x1n  1 An1 ，
所以 x1
u
x1 A21
n  1 x1n  1 An1 ，
x1