2021考研数学二国家线考研数学一-154
(总分150,考试时间90分钟)
一、选择题
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知当x→0时，f(x)=x3-sinax3与是等价无穷小，则
(A) a=b=1． (B) a=2，b=1．
． (D) a=2，b=2．
2. 设，则下列结论错误的是
(A) 与至少有一个成立．
(B) xn与yn中至少有一个为无界变量．
(C) 若xn是无穷小量，则yn必为无界变量．
(D) 若，则yn必为无穷大量．
3. 设函数f(x)连续，且，则
(A) F″(0)不存在． (B) F″(0)存在但不为零．
(C) F(x)在x=0处取极大值． (D) F(x)在x=0处取极小值．
4. 设曲面，并取上侧，则不等于零的积分为
(A) α1，α2，α3线性相关． (B) α3，α4线性无关．
(C) α4可由α1，α3线性表示． (D) α2可由α3，α4线性表示．
6. 设为可逆矩阵，B是3阶矩阵，满足
，则矩阵B的特征值为
(A) 1，2，4． (B) 2，2，-2．
(C) -1，2，-4． (D) 2，-2，-2．
7. 设随机变量Xi～B(1，pi)，(i=1，2)，它们的分布为Fi(x)．已知有一点x=x0处 F1(x0)＜F2(x0)，则
(A) p1＜p2． (B) p1＞p2． (C) p1=p2． (D) p1+p2=1．
8. 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，设X～N(0，1)，且Y=X，已知，其中a，b为常数，则必有
(A) a=0，b=0． (B) a=0，b＞0．
(C) a=0，b＜0． (D) min(a，b)=0．
二、填空题
9. 已知曲线y=f(x)与y=sinx在原点处相切，则______．
10. 设∑为圆柱面x2+y2=4(0≤z≤1)，则______．
11. 函数f(x)=ln|(x-1)(x-2)…(x-2013)|的驻点个数为______．
12. 设L是单位圆周x2+y2=1，n为L的外法线向量，y4)，则______．
13. 已知，则矩阵C=______．
14. 设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为，其中，则参数θ的矩估计量为______.
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求极限
16. 设f(x)二阶可导，且，求并讨论的连续性．
17. 设函数，其中，且函数z=z(x，y)满足. 求证．
18. 设曲线L过点(1，1)，L上任一点P(x，y)处的切线交z轴于T，且|PT|=|OT|，试求曲线L的方程．
19. 设f(x，y)在圆域x2+y2≤1上二阶连续可微，且满足e-(x2+y2)，计算积分．
20. 已知A=(α1，α2，α3，α4)是四阶矩阵，α1，α2，α3，α4是四维列向量，若方程组Ax=β的通解是(1，2，2，1)T+k(1，-2，4，0)T，又B=(α3，α2，α1，β-α4)，求方程组Bx=3α1+5α2-α3的通解．
21. 已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．
(Ⅰ)求α和二次型xTAx表达式．
(Ⅱ)用正交变换X=Qy化二次型xTAx为标准形并写出所用坐标变换．
(Ⅲ)求(A-3E)6．
22. 设二维正态随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)．已知条件概率密度
，和
求(Ⅰ)常数A和B；
(Ⅱ)X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)；
(Ⅲ)f(x，y)和ρXY．
23. 设X1，X2，…，Xn为来自标准正态总体X的简单随机样本，记.
试求(Ⅰ)ET的值；
(Ⅱ)ET2的值．
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