2021考研数学一真题及答案
一、选择题 1—8小题．每题4分，共32分． １．以下曲线有渐近线的是
〔A 〕x x y sin += 〔B 〕x x y sin +=2
〔C 〕x
x y 1sin
+= 〔D 〕x x y 12
sin +=
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐
近线x y = 应该选〔C 〕
2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，那么在],[10上〔 〕
〔A 〕当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ 〔B 〕当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ 〔C 〕当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ 〔D 〕当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考察的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】假如对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比拟熟悉的话，可以直接做出判断．假如对区间上任意两点21x x ，及常数10≤≤λ，恒有
())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，那么曲线是凸的．
显然此题中x x x ===λ,,1021，那么
=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，
故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选〔C 〕
【详解2】假如对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，那么010==)()(F F ，且
)
(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即
0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选〔C 〕
3．设)(x f 是连续函数，那么
=⎰
⎰---y y dy y x f dy 111
2
),(
〔Ａ〕⎰
⎰⎰
⎰---+2
100
11
010
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(
〔Ｂ〕
⎰
⎰⎰
⎰
----+0
101
1
10
1
2
x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(
(Ｃ〕
⎰
⎰⎰⎰
+++θθππ
θθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
dr r r f d dr r r f d
〔Ｄ〕
⎰
⎰⎰
⎰
+++θθππ
θθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
rdr r r f d rdr r r f d
【分析】此题考察二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如下图
假如换成直角坐标那么应该是
⎰
⎰⎰
⎰
---+x
x dy y x f dx dy y x f dx 10
10
10
1
2
),(),(，
〔A 〕，〔B 〕 两个选择项都不正确；
假如换成极坐标那么为
⎰
⎰⎰
⎰
+++θθππ
θθπ
θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10
2
10
20
rdr r r f d rdr r r f d ．
应该选〔D 〕
４．假设函数
{
}
⎰⎰-∈-
--=--π
π
π
πdx x b x a x dx x b x a x R
b a 22
1
1
)sin cos (min )
sin cos (,，那么
=+x b x a sin cos 11
〔Ａ〕x sin 2 〔Ｂ〕x cos 2 〔Ｃ〕x sin π2 〔Ｄ〕x cos π2 【
详解】
注意
32
3
2ππ
π
=⎰-dx x ，
2
22π
π
π
π
π
=
=⎰⎰--
dx x dx x sin cos ，
0==⎰⎰-
-
dx x x dx x x π
ππ
πsin cos cos ，
ππ
π2=⎰-
dx x x sin ，
所以
b b a dx x b x a x ππππ
π
42
322
232-++=--⎰-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 42
2
-+的极小值点，显然可知当20==b a ，时获得最小值，所以应该选〔A 〕．
5．行列式
d
c d c b
a b a
00
00000等于 〔A 〕2
)(bc ad - 〔B 〕2
)(bc ad -- 〔C 〕2
2
2
2
c b
d a - 〔D 〕2
2
2
2
c b
d a +- 【详解】
2
00
000000000
0000
0)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad d
c b a
bc
d
c b a
ad
d
c c b
a b d c d b a a d
c d c b
a b a --=-+--=+-=+-=
应该选〔B 〕．
6．设321ααα,, 是三维向量，那么对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,，线性无关的
〔A 〕必要而非充分条件 〔B 〕充分而非必要条件
〔C 〕充分必要条件 〔D 〕 非充分非必要条件 【详解】假设向量321ααα,，线性无关，那么
〔31ααk +，32ααl +〕K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩
阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,，时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性
无关，但321ααα,，线性相关；应选择〔A 〕．
7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 那么=-)(A B P 〔 〕 〔A 〕0.1 〔B 〕0.2 〔C 〕0.3 〔D 〕0.4
【详解】
)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-．
所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．应选择〔B 〕． 8．设连续型随机变量21X X ，互相独立，且方差均存在，21X X ，的概率密度分别为
)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 212
1
1+=
，随机变量)(2122
1
X X Y +=
，那么 〔A 〕2121DY DY EY EY >>, 〔B 〕2121DY DY EY EY ==, 〔C 〕 2121DY DY EY EY <=, 〔D 〕2121DY DY EY EY >=,
【详解】())())()((2212112
1
21Y E EX EX dy y f y f y EY =+=+=⎰+∞∞-，
2221212212
12121EX EX dy y f y f y EY +=+=
⎰+∞∞-))()((， ()2
212
21212122122
221122114
1414141412141412121DY X D X D X X E X D X D X E X E X E X E EX EX Y E Y E DY =+≥-++=---+=
-=)()()()()()()()()()(
故应该选择〔D 〕．
二、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕
9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=112
2在点),,(101处的切平面方程为 ．
【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=112
2在点),,(101处的法向量为
()
),,(|,,),,(1121101--=-y x
z z
，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，
即012=---z y x ．
10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，那么
=)(7f ．
【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
⎰
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，
即x x x f 22
-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足3
1e y =)(的解为 ．
【详解】方程的标准形式为
x
y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设x y
u =，得到通解为
1+=Cx xe y ，将初始条件31e y =)(代入可得特解为12+=x xe y ．
12．设L 是柱面12
2
=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，那么曲线积分2021考研数学二国家线
⎰
=+L
ydz zdx ．
【详解】由斯托克斯公式⎰⎰⎰∑
∂∂
∂∂∂∂=++R
Q P z y x dxdy
dzdx dydz Rdz Qdy Pdx L 可知
π==
=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
∑
∑
xy
D L
dxdy dxdy dzdx dydz ydz zdx ．
其中⎩⎨
⎧≤+=+∑1
02
2
y x z y ：取上侧，{}
12
2
≤+=y x y x D xy |),(．
13．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，那么a 的取值
范围是 ． 【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必需要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
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