研究生入学考试数学三试题
一、选取题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前字母填在题后括号内.
（1）当0x +→时，与x 等价无穷小量是 （A ）1e x - （B ）1ln 1x x
+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ] （2）设函数()f x 在0x =处持续，下列命题错误是：
（A ）若0()lim
x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x
→+-存在，则(0)0f = . （B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=. [ ]
（3）如图，持续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上图形分别是直径为1上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-图形分别是直径为2下、上半圆周，设0()()d x
2021考研数学二国家线F x f t t =⎰，则下列结论对的是：
（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4
F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ] （4）设函数(,)f x y 持续，则二次积分
1sin 2d (,)d x x f x y y ππ⎰⎰等于 （A ）
10
arcsin d (,)d y y f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d y y f x y x ππ-⎰⎰ （C ）1arcsin 02d (,)d y y f x y x ππ
+⎰⎰ （D ）1
arcsin 02
d (,)d y y f x y x ππ-⎰⎰ （5）设某商品需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表达需要量和价格，如果该商品需求弹性绝对值等于1，则商品价格是
(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ]
（6）曲线()1ln 1e x y x
=++渐近线条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]
（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性有关是
线性有关，则
(A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---.
(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，则A 与B (A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ]
（9）某人向同一目的独立重复射击，每次射击命中目的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击正好第2次击中目的概率为
（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.
（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]
（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不有关，(),()X Y f x f y 分别表达,X Y 概率密度，则在Y y =条件下，X 条件概率密度|(|)X Y f x y 为
(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()
X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（11） 323
1lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123
y x =+，则()(0)n y =________. （13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z z x y x y ∂∂-=∂∂ __________. （14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y ==特解为y =________.
（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则3A 秩为 . （16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差绝对值不大于12
概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
（17） (本题满分10分)
设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=拟定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近凹凸性.
（18） (本题满分11分)
设二元函
数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.
（19） (本题满分11分)
设函数(),()f x g x 在[],a b 上持续，在(,)a b 内具备二阶导数且存在相等最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.
（20） (本题满分10分) 将函数21()34
f x x x =--展开成1x -幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分11分)
设线性方程组123123212302040
x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 值及所有公共解.
（22） (本题满分11分)
设三阶对称矩阵A 特性向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 属于1λ一种特性向量，记
534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.
（I ）验证1α是矩阵B 特性向量，并求B 所有特性值与特性向量；
（II ）求矩阵B .
（23） (本题满分11分)
设二维随机变量(,)X Y 概率密度为
2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩
其他. （I ）求{}2P X Y >；
(II) 求Z X Y =+概率密度.
答案
1….【分析】本题为等价无穷小鉴定，运用定义或等价无穷小代换即可.
【详解】当0x +→
时，1x --
，112x
，()211122
x x -=，
故用排除法可得对的选项为（B ）.
事实上，000lim lim lim 1x x x +++→→→
==，
或ln(1)ln(1()x x o x o o x =+-=++=. 因此应选（B ）
【评注】本题为关于无穷小量比较基本题型，运用等价无穷小代换可简化计算.
.
2…….【分析】本题考查可导极限定义及持续与可导关系. 由于题设条件具有抽象函数，本题最简便办法是用赋
值法求解，即取符合题设条件特殊函数()f x 去进行判断，然后选取对的选项.
【详解】取()||f x x =，则0()()lim 0x f x f x x
→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）. 事实上， 在(A),(B)两项中，由于分母极限为0，因此分子极限也必要为0，则可推得(0)0f =.
在（C ）中，0()lim x f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x
→→-'====-，因此(C)项对的，故选(D)
【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式成果以及数值型成果选取题，用赋值法求解往往能收到奇效.
3…….【分析】本题实质上是求分段函数定积分.
【详解】运用定积分几何意义，可得 2
21113(3)12228
F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==， 202202011(2)()d ()d ()d 122
F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 因此 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）. 【评注】本题属基本题型. 本题运用定积分几何意义比较简便.
4…….【分析】本题更换二次积分积分顺序，先依照二次积分拟定积分区域，然后写出新二次积分.
【详解】由题设可知，
,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤， 故应选（B ）.
【评注】本题为基本题型. 画图更易看出.
5…….【分析】本题考查需求弹性概念.
【详解】选（D ）.
商品需求弹性绝对值等于 d 2140d 1602Q P P P P Q P
-⋅==⇒=-， 故选（D ）.
【评注】需掌握微积分在经济中应用中边际，弹性等概念.
6…….【分析】运用曲线渐近线求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.
【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 因此 0y =是曲线水平渐近线； ()001lim lim ln 1e x x x y x
→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，因此0x =是曲线垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11x x x x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，
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