2021考研数学重点解析：线性代数特征值与二次型
进行考研数学复习的同学们都知道，矩阵的特征值与特征向量问题以及二次型的标准化问题都是作为考研数学中的重要常考点的，为了帮助同学们在暑假强化复习阶段更高效地复习这两个章节的知识，矩阵的特征值与特征向量问题以及二次型的标准化问题，以期对同学们有所帮助。
第一矩阵的特征值与特征向量问题
矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归咎于三小问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念认知以及排序问题
这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。2.矩阵(方阵)的相似对角化问题
这里建议掌控通常矩阵相近对角化的条件，可以推论取值的矩阵与否可以相近对角化，另外还要可以矩阵相近对角化的排序问题，会求对称阵以及对角阵。事实上，矩阵相近对角化之后除了一些应用领域，主要彰显在矩阵行列式的排序或者谋矩阵的方幂上，这些应用领域在历年真题中都存有相同的彰显。
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题
其实质还是矩阵的相近对角化问题，与2相同的就是求出的对称阵为拓扑阵。这里建议学生除了掌控实等距矩阵的拓扑相近对角化外，还要掌控实等距矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候可以经常使用这些考点的。这块的科学知识出题比较有效率，可以轻易出题，即为取值一个实等距矩阵a，让求拓扑阵使该矩阵拓扑相近于对角阵;也可以根据矩阵a的特征值、特征向量去确认矩阵a中的参数或者确认矩阵a;另外由于实等距矩阵相同特征值的特征向量就是相互拓扑的，这样还可以由未知特征值的特征向量确认出来对应的特征向量，从而确认出来矩阵a。最重要的就是，掌控子商等距矩阵的拓扑相近对角化就相等于化解子商二次型的标准化问题。第二二次型
二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题
二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题密切相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成子商等距矩阵的相近对角化问题。化二次型为标准团花两种方法：一就是正交变换法;二就是分体式方法。从历年考题来看，利用拓扑变化法化二次型为标准形是考研线性代数考查的关键方向，但是其实质就是实等距矩阵的拓扑相近对角化问题，也就是说实二次型的标准化问题与实等距矩阵的拓扑相近对角化问题就是同一问题的两种相同的论调，并且这两种相同的论调在历年考研真题的大题中就是交错发生的，因此掌控子商等距矩阵的拓扑相近对角化那么实二次型的标准化问题也就迎刃而解了。另外，在没其他建议的情况下，利用分体式方法获得标准形可能将更便利一些。本章节的内容除了可以以大题的形式发生外，二次型的矩阵则表示、二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也就是填空题、选择题中不可或缺的一部分。2.二次型的也已定性推论
此处的考点主要出现在填空题或者选择题中，一般考查的有两种形式的二次型：一是具体的数值型二次型;二是抽象的二次型。对于具体的数值型二次型来说，一般可通过判断其顺序主子式是否全部大于零来判别二次型是否为正定二次型;而抽象的二次型的正定性判断可以通过利用其标准形、规范形中的系数是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到证明，当然二次型的正定性判断问题的顺利解决是建立在熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件的
基础之上的。
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