2021年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:1～8小题，每题4分，共32分.以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设cos 1sin ()x x x α-=⋅，()2
x π
α<
，当0x →时，()x α〔 〕
〔A 〕比x 高阶的无穷小 〔B 〕比x 低阶的无穷小
〔C 〕与x 同阶但不等价的无穷小 〔D 〕与x 是等价无穷小
【答案】〔C 〕
【考点】同阶无穷小 【难易度】★★
【详解】
cos 1sin ()x x x α-=⋅，21
cos 12
x x --
21sin ()2x x x α∴⋅-，即1
sin ()2
x x α-
∴当0x →时，()0x α→，sin ()()x x αα
1
()
2
x x α∴-，即()x α与x 同阶但不等价的无穷小，应选〔C 〕. 2、()y f x =由方程cos()ln 1xy y x -+=确定，那么2
lim [()1]n n f n
→∞-=〔 〕
〔A 〕2 〔B 〕1 〔C 〕-1 〔D 〕-2
【答案】〔A 〕
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★
【详解】当0x =时，1y =.
002()1
2(2)1(2)(0)
lim [()1]lim lim 2lim 2(0)12n n x x f f x f x f n n f f n x x
n
→∞→∞→→---'-==== 方程cos()ln 1xy y x -+=两边同时对x 求导，得
1
sin()()10xy y xy y y
''-++
⋅-= 将0x =，1y =代入计算，得 (0)(0)1y f ''==
所以，2lim [()1]2n n f n
→∞
-=，选〔A 〕.
3、设sin [0,)
()2[,2]
x f x πππ⎧=⎨
⎩，0
()()x F x f t dt =⎰，那么〔 〕
〔A 〕x π=为()F x 的跳跃连续点 〔B 〕x π=为()F x 的可去连续点 〔C 〕()F x 在x π=处连续不可导 〔D 〕()F x 在x π=处可导 【答案】〔C 〕
【考点】初等函数的连续性；导数的概念 【难易度】★★ 【详解】
20
2
(0)sin sin sin 2F tdt tdt tdt π
π
π
ππ-==+=⎰⎰⎰，(0)2F π+=，
(0)(0)F F ππ∴-=+，()F x 在x π=处连续.
()()()lim 0x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
-
-→-'==-⎰
⎰，0
()()()lim 2x
x f t dt f t dt
F x π
π
ππ
+
+→-'==-⎰
⎰，
()()F F ππ-+''≠，故()F x 在x π=处不可导.选〔C 〕.
4、设函数1
111(1)()1ln x e x f x x e x x
αα-+⎧
<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，假设反常积分1
()f x dx +∞⎰收敛，那么〔 〕
〔A 〕2α<- 〔B 〕2α> 〔C 〕20α-<< 〔D 〕02α<<
【答案】〔D 〕
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★★ 【详解】1
1
()()()e e
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
=+⎰
⎰⎰
由
1
()f x dx +∞
⎰
收敛可知，1
()e f x dx ⎰与()e
f x dx +∞⎰
均收敛.
1
1
1
1()(1)e
e f x dx dx x α-=-⎰
⎰
，1x =是瑕点，因为111
(1)e dx x α--⎰收敛，所以112αα-<⇒< 111()(ln )
ln e
e
e
f x dx dx x x x ααα
+∞
+∞
+∞
-+==-⎰
⎰
，要使其收敛，那么0α>
所以，02α<<，选D. 5、设()y z f xy x =
，其中函数f 可微，那么x z z y x y
∂∂+=∂∂〔 〕 〔A 〕2()yf xy ' 〔B 〕2()yf xy '- 〔C 〕2()f xy x 〔D 〕2
()f xy x
- 【答案】〔A 〕
【考点】多元函数的偏导数 【难易度】★★
【详解】22()()z y y f xy f xy x x x ∂'=-+∂，1
()()z f xy yf xy y x
∂'=+∂ 221
[()()][()()]x z z x y y f xy f xy f xy yf xy y x y y x x x
∂∂''∴+=-+++∂∂ 11
()()()()2()f xy yf xy f xy yf xy yf xy x x
'''=-
+++=，应选〔A 〕.
6、设k D 是圆域{}
22
(,)1D x y x y =+≤位于第k 象限的局部，记
()(1,2,3,4)k
k D I y x dxdy k =-=⎰⎰，那么〔 〕
〔A 〕10I > 〔B 〕20I > 〔C 〕30I > 〔D 〕40I > 【答案】〔B 〕
【考点】二重积分的性质；二重积分的计算 【难易度】★★
【详解】根据对称性可知，130I I ==.
2
2()0D I y x dxdy =->⎰⎰〔
0y x ->〕，4
4()0D I y x dxdy =-<⎰⎰〔
0y x -<〕
因此，选B.
7、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，假设AB=C ，且B 可逆，那么〔 〕 〔A 〕矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 〔B 〕矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 〔C 〕矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 〔D 〕矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】〔B 〕
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=，1(,,)n C γγ=
由于AB C =，故111111(,
,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++
即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.
由于B 可逆，故1
A C
B -=，A 的列向量组可由
C 的列向量组线性表示，应选〔B 〕.
8、矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
相似的充分必要条件是〔 〕
〔A 〕0,2a b == 〔B 〕0,a b =为任意常数 〔C 〕2,0a b == 〔D 〕2,a b = 为任意常数
【答案】〔B 〕
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有一样的特征值.
由20000000b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值也是2，b ，0. 因此，2
21
1112021考研数学二国家线
220224011020
a a E A a
b a b a a a a a
-----=---=---=-=---0a ⇒=
将0a =代入可知，矩阵10100101A b ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
的特征值为2，b ，0.
此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，应选〔B 〕.
二、填空题：9～14小题，每题4分，共24答题纸．．．
指定位置上. 9、1
0ln(1)lim(2)x x x x
→+-
= . 【答案】12
e
【考点】两个重要极限 【难易度】★★ 【详解】
01
1ln(1)1ln(1)1ln(1)
1ln(1)
1(1)
(1)lim (1)
000
ln(1)ln(1)
lim(2)lim[1(1)]lim x x x x x x x x x
x x
x
x
x x x x x e
e
x x
→++++-⋅-⋅-⋅-→→→++-=+-==
其中，200001
11ln(1)ln(1)11lim
(1)lim lim lim 22(1)2
x x x x x x x x x x x x
x x x →→→→-
+-++⋅-====+
故原式=12
e
10
、设函数()x
f x -=
⎰
，
那么()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数
y dx
dy
== .
【考点】反函数的求导法那么；积分上限的函数及其导数 【难易度】★★
【详解】由题意可知，(1)0f -=
1
()y x dy dx dx dx
f x dx dy dy dy
==-'=
==⇒=
=
.
11、设封闭曲线L 的极坐标方程方程为cos3()6
6
r π
π
θθ=-≤≤
，那么L 所围平面图形的面积
是 . 【答案】
12
π 【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积
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