2021考研数学真题及答案解析
数学（一）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）
(1)函数1
,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪
⎨⎪=⎩
，在0x =处
(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.
【答案】D.
【解析】因为001
lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x
→→-==，故()f x 在0x =处连续；
因为20001
1
()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2
f '=，正确答案为D.(2)设函数(),f x y 可微，且2
(1,)(1)x
f x e x x +=+，2
2
(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =
(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.
【解析】2
12(1,)(1,)(1)2(1)
x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x
''+=+②
分别将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩
带入①②式有
12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2
f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.
(3)设函数2
sin ()1x f x x =+在0x =处的3次泰勒多项式为23
ax bx cx ++，则(A)71,0,6a b c ===-.(B)7
1,0,6a b c ===.
(C)71,1,6a b c =-=-=-.(D)7
1,1,6
a b c =-=-=.
【答案】A.
【解析】根据麦克劳林公式有
332333
2
sin 7()()[1()]()166x x f x x o x x o x x x o x x ⎡⎤==-+⋅-+=-+⎢⎥+⎣⎦
故7
1,0,6
a b c ===-
，
本题选A.(4)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1
f x dx =
⎰(A)1211
lim
22n
n k k f n n →∞
=-⎛⎫ ⎪
⎝⎭∑
.(B)1
211
lim 2n
n k k f n n
→∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
.
(C)21
11lim 2n
n k k f n n
→∞
=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑
.
(D)20
1
2lim
2n
x k k f n n
→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑
.【答案】B.
【解析】由定积分的定义知，将
()
0,1分成n 份，取中间点的函数值，则
1
1
211
()lim ,2n
n k k f x dx f n n
→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰
即选B.(5)二次型222
123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为
(A)2,0.(B)1,1.
(C)2,1.
(D)1,2.
【答案】B.
【解析】2
2
2
2
1231223312122313
(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，故特征多项式为
11
||121(1)(3)11E A λλλλλ
λ
---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.
(6)已知1101α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2121α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3312α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，记11βα=，221k βαβ=-，331122l l βαββ=--，若1β，2β，3β两两正交，则1l ，2l 依次为
(A)
51,.22
(B)51,.22
-
(C)
51,.22
-(D)51,.22
-
-【答案】A.
【解析】利用斯密特正交化方法知
21221110[,]2[,]0αββαβββ⎛⎫
⎪
=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，313233121122[,][,]
[,][,]
αβαββαββββββ=-
-，
故31111[,]5[,]2l αβββ=
=，32222[,]1
[,]2
l αβββ==，故选A.
(7)设,A B 为n 阶实矩阵，下列不成立的是
(A)()2T
A O r r A O A A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭(B)()2T A
AB r r A O A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(C)()2T A
BA r r A O
AA ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(D)()2T A O r r A BA A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
【答案】C.
【解析】(A)()()2().T
T
A
O r r A r A A r A O A A ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭
故A 正确.(B)AB 的列向量可由A 的列线性表示，故()()2().0T
T T
A A
B A O r r r A r A r A O
A A ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(C)BA 的列向量不一定能由A 的列线性表示.(D)BA 的行向量可由A 的行线性表示，()()2().0T T T A BA A O r r r A r A r A O A A ⎛⎫⎛⎫==+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
本题选C.
(8)设A ，B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中不成立的是
(A)若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A =.(B)若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A >(C)若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A >.(D)若(|)(|)P A A B P A A B > ，则()()P A P B >.【答案】D.
【解析】(())()
(|)()()()()
P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB =
=
+- (())()()()(|)()()()()()
P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB -=
==
+- 因为(|)(|)P A A B P A A B > ，固有()()()P A P B P AB >-，故正确答案为D.
(9)设()()()1122,,,,,,n n X Y X Y X Y 为来自总体()
2
2
1212,;,;N μμσσρ的简单随机样本，令
1211
11ˆ,,,,n n
i i i i X X Y Y X Y n n θμμθ===-===-∑∑则
(A)ˆθ
是θ的无偏估计，()
22
12ˆD n
σσθ+=(B)ˆθ不是θ的无偏估计，()
22
12
ˆD n
σσθ+=
(C)ˆθ
是θ的无偏估计，()
2212122ˆD n
σσρσσθ+-=(D)ˆθ
不是θ的无偏估计，()
2212122ˆD n
σσρσσθ+-=【答案】C.
【解析】因为,X Y 是二维正态分布，所以X 与Y 也服从二维正态分布，则X Y -也服从二维正态
分布，即12
ˆ()()()()E E X Y E X E Y θμμθ=-=-=-=，
221212
2ˆ()()()()cov(,)D D X Y D X D Y X Y n
σσρσσθ+-=-=+-=，故正确答案为C.
(10)设1216,,X X X 是来自总体(),4N μ的简单随机样本，考虑假设检验问题：
01:10,:10.H H μμ≤>()x Φ表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为{}11W X =≥，其中16
1
116i i X X ==∑，则11.5μ=时，该检验犯第二类错误的概率为
(A)()10.5-Φ(B)()11-Φ(C)()1 1.5-Φ(D)()
12-Φ【答案】B.
【解析】所求概率为{11}P X <1(11.5,)4
X N ，
11.51111.5{11}1(1)1122X P X P ⎧⎫⎪⎪
--<=≤=-Φ⎨⎬⎪⎪
⎩⎭
故本题选B.
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）
(11)2
22
dx
x x +∞
=++⎰.
【答案】4
π
【解析】
220
0arctan(1)22(1)1244
dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞
==+=-=++++⎰
⎰(12)设函数()y y x =由参数方程2
21,04(1),0
t t x e t x y t e t x ⎧=++<⎨=-+≥⎩确定，则202t d y
dx ==.
【答案】2
3
.
【解析】由4221t t dy te t
dx e +=
+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t t t d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20
22
3
t d y dx ==.(13)欧拉方程2
40x y xy y '''+-=满足条件(1)1,(1)2y y '==得解为y =
.
【答案】2
x .
【解析】令t
x e =，则222,dy d y dy
xy x y dt dx dx
'''==-，原方程化为2240d y y dx -=，特征方程为240λ-=，特征根为122,2λλ==-，通解为22221212t t y C e C e C x C x --=+=+，将初始条件
2021考研数学二国家线(1)1,(1)2y y '==带入得121,0C C ==，故满足初始条件的解为2y x =.
(14)设∑为空间区域{
}22
(,,)44,02
x y z x y z +≤≤≤表面的外侧，则曲面积分
22x dydz y dzdx zdxdy ∑
++=⎰⎰.
【答案】4π.
【解析】由高斯公式得原式=
20
(221)4D
x y dV dz dxdy πΩ
++==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰.
(15)设ij A a =为3阶矩阵，ij A 为代数余子式，若A 的每行元素之和均为2，且3A =，
112131A A A ++=.
【答案】3
2
.
【解析】1112111A ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,1,2,11A αλαλα⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭，则*
A 的特征值为
A λ，对应的特征向量为111α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,*A A ααλ=而112131*
122232132333,A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭112131*122232132333111111A A A A A A A A A A A λ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=++= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即1121313
2
A A A ++=.
(16)甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令X ,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 与Y 的相关系数.【答案】
15
.【解答】联合分布率(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(,)311310
5510X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭ ,0
11122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 01112
2Y ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
1cov(,)20X Y =，11,44DX DY ==，即1
5
XY ρ=.
三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
(17)(本题满分10分)
求极限20011lim 1sin x t x x e dt e x →⎛⎫
+ ⎪- ⎪- ⎪
⎝⎭⎰.【答案】1
2
.
【解析】解：22
00001sin 11lim lim 1sin (1)sin x x t t x x x x e dt x e dt e x e x →→⎛⎫+-- ⎪-= ⎪-- ⎪⎝⎭
⎰⎰又因为22233001(1())()3
x x t
e dt t o t dt x x o x =++=++⎰⎰，故
原式=33332220111
(())(1())()
3!3!2lim x x x o x x x o x x x o x x →-++++--+=2
2201()
1
2lim 2
x x o x x →+=.
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