2013年湖南省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（  ）
　
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
　
2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（  ）
　
A．
抽签法
B．
随机数法
C．
系统抽样法
D．
分层抽样法
分析：
若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：
解：总体由男生和女生组成，比例为500：500=1：1，所抽取的比例也是1：1．
故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样法．
故选D
　
3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（  ）
　
A．
B．
0
C．
D．
　
5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为（  ）
　
A．
3
B．
2
C．
1
D．
0
　
6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（  ）
　
A．
B．
C．
D．
点评：
本题考查平面向量的数量积运算，根据题意作出图象，数形结合是解决本题的有力工具．
　
7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（  ）
　
A．
1
B．
C．
D．
　
8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（  ）
　
A．
2
B．
1
C．
D．
考点：
与直线关于点、直线对称的直线方程．342472
专题：
直线与圆．
分析：
建立坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点P1的坐标，和P关于y轴的对称点P2的坐标，由P1，Q，R，P2四点共线可得直线的方程，由于过△ABC的重心，代入可得关于a的方程，解之可得P的坐标，进而可得AP的值．
解答：
解：建立如图所示的坐标系：
可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4，
△ABC的重心为（，），设P（a，0），其中0＜a＜4，
则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足，
解得，即P1（4，4﹣a），易得P关于y轴的对称点P2（﹣a，0），
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，
直线QR的斜率为k==，故直线QR的方程为y=（x+a），
由于直线QR过△ABC的重心（，），代入化简可得3a2﹣4a=0，
解得a=，或a=0（舍去），故P（，0），故AP=
故选D
点评：
本题考查直线与点的对称问题，涉及直线方程的求解以及光的反射原理的应用，属中档题．
　
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）
9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为　3　．
考点：
参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．342472
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．
解答：
解：由直线l：，得y=x﹣a，
再由椭圆C：，得，
①2+②2得，．
所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．
因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．
故答案为3．
点评：
本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．
　
10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为　12　．
考点：
柯西不等式；柯西不等式的几何意义．342472
专题：
计算题；不等式的解法及应用．
分析：
根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）（a2+4b2+9c2）=3（a2+4b2+9c2），化简得a2+4b2+9c2≥12，由此可得当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12．
解答：
解：∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）2=（1×a+1×2b+1×3c）2≤（12+12+12）[a2+（2b）2+（3c）2]
化简得62≤3（a2+4b2+9c2），即36≤3（a2+4b2+9c2）
∴a2+4b2+9c2≥12，
当且仅当a：2b：3c=1：1：1时，即a=2，b=1，c=时等号成立
由此可得：当且仅当a=2，b=1，c=时，a2+4b2+9c2的最小值为12
故答案为：12
点评：
本题给出等式a+2b+3c=6，求式子a2+4b2+9c2的最小值．着重考查了运用柯西不等式求最值与柯西不等式的等号成立的条件等知识，属于中档题．
　
11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为　　．
考点：
圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．342472
专题：
计算题．
分析：
首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．
解答：
解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，
∴2×2=CP•1，
高考试题2013解得：CP=4，又PD=1，
∴CD=5，
又⊙O的半径为，
则圆心O到弦CD的距离为d===
故答案为：．
点评：
此题主要考查了相交弦定理，垂径定理，勾股定理等知识，题目有一定综合性，是中考中热点问题．
　
12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为　3　．
考点：
定积分．342472
专题：
计算题．
分析：
利用微积分基本定理即可求得．
解答：
解：==9，解得T=3，
故答案为：3．
点评：
本题考查定积分、微积分基本定理，属基础题．
　
13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为　9　．
考点：
程序框图．342472
专题：
图表型．
分析：
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．
解答：
解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：
是否继续循环  a  b
循环前/1  2
第一圈        是      3  2
第二圈        是      5  2
第三圈        是      7  2
第四圈        是      9  2
第五圈        否
故最终输出的a值为9．
故答案为：9．
点评：
根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
　
14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为　　．
考点：
双曲线的简单性质．342472
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
解答：
解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2﹣2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2﹣2c×4a×，
∴c2﹣2ca+3a2=0，
∴c=a
所以e==．
故答案为：．
点评：
本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．