2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
（天津卷）
第Ⅰ卷
一、选择题
A．(－∞，2] B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]
答案 D
解析 A＝{x∈R||x|≤2}＝[－2,2]，B＝{x∈R|x≤1}＝(－∞，1]，∴A∩B＝[－2,2]∩(－∞，1]＝[－2,1]，选D.
2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
A．－7 B．－4 C．1 D．2
答案 A
解析
可行域如图阴影部分(含边界)
令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．
由得A(5,3)．
∴z最小＝3－2×5＝－7，选A.
3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序．若输入x的值为1，则输出S的值为( )
A．64 B．73
C．512 D．585
答案 B
解析 第1次运行：S＝0＋13＝1<50
第2次运行：x＝2，S＝1＋23＝9<50
第3次运行：x＝4，S＝9＋43＝73>50
∴输出S＝73，选B.
4．已知下列三个命题：
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切，其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
答案 C
解析 ①正确，②不正确，③正确，选C.
A．1 B. C．2 D．3
答案 C
解析 e＝2，2＝＝1＋2＝4，∴＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴|AB|＝2·tan 60°
又S△AOB＝，即··2·tan 60°＝，∴＝1，
∴p＝2，选C.
6．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin ∠BAC等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 在△ABC中，由余弦定理AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝()2＋32－2××3cos ＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝得
sin∠BAC＝＝＝＝，选C.
7．函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 当0<x<1时，f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，则log0.5x＝x
由y＝log0.5x，y＝x的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f(x)在(0,1)上有一个零点．
当x>1时，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得
log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.
另法： ，画这两个函数的图像，
看图可知选B
8．已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)．设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若⊆A，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案 A
解析 f(x)＝x(1＋a|x|)，f(x＋a)＝(x＋a)(1＋a|x＋a|)，
由f(x＋a)<f(x)得，
x＋a高考试题2013＋a(x＋a)|x＋a|<x＋ax|x|，
而a＋a(x＋a)|x＋a|<ax|x|，
(1)当a＝0时，不合题意．
(2)当a>0时有1＋(x＋a)|x＋a|<x|x|
由于当x＝0时1＋|a|<0无解，故a<0，去掉C.
(3)当a<0时，1＋(x＋a)|x＋a|>x|x|
取a＝－，则1＋>x|x|*
①当x≤0时，由*得－<x≤0
②当0<x≤时，由☆得0<x≤>
此时⊆A符合题意，由于－∉，
－∉去掉B、D，故选A.
第Ⅱ卷
二、填空题
9．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.
答案 1＋2i
解析 由(a＋i)(1＋i)＝bi得a－1＋(a＋1)i＝bi，
∴
∴a＋bi＝1＋2i.
10.6的二项展开式中的常数项为________．
答案 15
解析 Tr＋1＝Cx6－r(－x－)r＝(－1)rCx6－(r＝0,1，…，6)，
由题意得6－＝0，∴r＝4.
故常数项为T4＋1＝C(－1)4＝C＝＝15.
11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
答案 2
解析 由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ而x2＋y2＝4x，
∴(x－2)2＋y2＝4，圆心C(2,0)，
点P的直角坐标为P(2,2)．
∴|CP|＝2.
12．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
答案
解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则＝，
∴＝＝－，又＝＋，
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