2013年高考理科数学试题解析（新课标Ⅰ）
第Ⅰ卷
一、 选择题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{}2|20,|55A x x x B x x =->=-<<，则 ( )
A.A ∩B=∅
B.A ∪B=R
C.B ⊆A
D.A ⊆B
2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为
( ) A .4- B .45- C .4 D .45
3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )
A .简单随机抽样
B .按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样
4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为52
，则C 的渐近线方程为 A.14y x =± B.13
y x =± C.12y x =± D.y x =± 5.运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于
A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]-
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )
A .35003cm π
B . 38663cm π C. 313723cm π D. 320483
cm π 7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )
A .3
B .4 C.5 D.6
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．168π+
B ．88π+
C ．1616π+
D ．816π+
9.设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值
为b ，若137a b =，则m = ( )
A .5 B.6 C.7 D.8
10.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ( )
A .22
14536x y += B .22
13627x y += C.22
12718x y += D.221189
x y += 11.已知函数()f x =22,0ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是
A ．(,0]-∞
B ．(,1]-∞
C ．[2,1]-
D ．[2,0]-
12.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =L ，若11111,2b c b c a >+=，
111,,22
n n n
n n n n n c a b a a a b c +++++===，则( ) A .{S n }为递减数列 B .{S n }为递增数列
C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____.
14.若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______
16.若函数()f x =22
(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值是______.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°
(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA
18.（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BA A 1=60°.
（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;
（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。
20.(本小题满分12分)已知圆M :22(1)1x y ++=，圆N :22
(1)9x y -+=，动圆P 与M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C.
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
21.（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()x
e cx d +，若曲线()y
f x =和曲线()y
g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+
（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于D 。
（Ⅰ）证明：DB=DC ；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC= ，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径。
23.（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.
（Ⅰ）当a =2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；
（Ⅱ）设a ＞-1，且当x ∈[2a -，12
)时，()f x ≤()g x ，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1． B. 2． D. 3． C.4．C .
5． A . 6． A. 7． C. 8． A . 9． B. 10． D. 11． D. 12．B
13．【解析】g b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112
t -=0，解得t =2. 14．【解析】当n =1时，1a =1S =12133
a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=1223
3n n a a --，即n a =12n a --， ∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.
15．【解析】∵()f x =sin 2cos x x -)x x
令cos ϕsin ϕ=，则()f x cos sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+， 当x ϕ+=2,2k k z π
π+∈，即x =2,2k k z π
πϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z π
πϕ+-∈，∴
cos θ=cos(2)2k ππϕ+
-=sin ϕ=. 16．【解析】由
()f x 图像关于直线x =－2对称，则 0=
(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+， 0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15，
∴()f x =22(1)(815)x x x -++，
∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-
=4(2)(22x x x -+++
+
高考试题2013
当x ∈(－∞,2-)∪(－2, 2-时，()f x '＞0，
当x ∈(2--－2)∪(2-+∞)时，()f x '＜0，
∴()f x 在（－∞，2-2-2）单调递减，在（－2，2-+）单调递增，
在（2-+∞）单调递减，故当x =2--和x =2-(2f --=(2f -+=16.
17．【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=o 60，∴∠PBA=30o ，在△PBA 中，由余弦定理得
2PA =o 1132cos3042+-=74，∴；
（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sin α，在△PBA o sin sin(30)
αα=-，化简得，
4sin αα=，
∴tan αtan PBA ∠. 18．【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，
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