试题类型：A
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项：
1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至3页，第II卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第I卷
一． 选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（A） （B） （C） （D）
（2）若复数满足，则的虚部为
（A） （B） （C） （D）
（3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个阶段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
（A）简单随机抽样 （B）按性别分层抽样 （C）按学段分层抽样 （D）系统抽样
(4)已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
（５）执行右边的程序框图，如果输入的，则输出的属于
(A) (B) (C) (D)
（６）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm.，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为
(A) (B)
(C) (D)
（7）设等差数列的前项和为，若高考试题2013，，，则=
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（A）16+8
（B）8+8
（C）16+16
（D）8+16
（B）8+8
（C）16+16
（D）8+16
（9）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为.若，则=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（10）已知椭圆：的右焦点为（3,0），过点的直线交于，两点.若的中点坐标为（1，-1），则的方程为
（A） （B） （C） （D）
(11)已知函数若≥，则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
（12）设△的三边长分别为，△的面积为， =1,2,3，….若，则
（A）为递增数列
（B）为递减数列
（C）为递增数列，为递减数列
（D）为递减数列，为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答，第(22) ~ (24)题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=ta+(1-t) b.若b·c=0，则t=____________.
（14）若数列的前项和，则的通项公式是=__________.
（15）设当时，函数取得最大值，则_________________.
（15）若函数的图像关于直线=-2对称，则的最大值为________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
如图，在△中， =90°，，，为△内一点， =90°.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若=150°，求.
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，, ,.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值。
（19）（本小题满分12分）
一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立.
（Ⅰ）这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望.
（20）（本小题满分12分）
已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求.
（21）（本小题满分12分）
设函数，.若曲线和曲线都过点（0,2），且在点有相同的切线.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若时，，求的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一道作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用２Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，的角平分线BE交圆与点E，DB垂直BE交圆与点D。
（1） 证明：DB＝DE；
（2） 设圆的半径为1,，延长CE交AB与点F，求外接圆的半径。
（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式为.
（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1与Ｃ２交点的极坐标。
（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围。
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