2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标I)
理科数学
注意事项：
1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )．
A．A∩B＝ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
2．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．
A．－4 B．
4
5
- C．4 D．
4
5
3．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．已知双曲线C：
22
22
=1
x y
a b
-(a＞0，b＞0)的离心率为
5
2
，则C的渐近线方程为( )．
A．y＝
1
4
x
± B．y＝
1
3
x
±
C．y＝
1
2
x
± D．y＝±x
5．执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )．
A ．[－3,4]
B ．[－5,2]
C ．[－4,3]
D ．[－2,5]
6．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
A ．
500π3cm 3 B ．866π3
cm 3
C ．
1372π3cm 3 D ．2048π3
cm 3
7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．
A ．16＋8π
B ．8＋8π
C ．16＋16π
D ．8＋16π
9．设m 为正整数，(x ＋y )2m
展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )
2m ＋1
展开式的二项式系数的最大值为
b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
10．已知椭圆E ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点
坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．
A ．
22=14536x y + B ．22
=13627x y + C ．
22=12718x y + D ．22
=1189
x y + 11．已知函数f (x )＝220ln(1)0.
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，
，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．
A ．(－∞，0]
B ．(－∞，1]
C ．[－2,1]
D ．[－2,0]
12．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n
＋1
＝a n ，b n ＋1＝
2n n c a +，c n ＋1＝2
n n
b a +，则( )． A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列
C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)高考试题2013
题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________. 14．若数列{a n }的前n 项和21
33
n n S a =
+，则{a n }的通项公式是a n ＝__________. 15．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.
16．若函数f (x )＝(1－x 2
)(x 2
＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.
(1)若PB ＝
1
2
，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
18．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝
AA 1，∠BAA 1＝60°.
(1)证明：AB ⊥A 1C ；
(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．
过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1
2
，且各件产品是否为优质品
相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
20．(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
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