2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷一）
数  学（理工类）
参考公式：
如果事件互斥，那么                            球的表面积公式
()
()
()P A
B P A P B
24S
R
如果事件相互独立，那么                        其中R 表示球的半径
()
()()P A B P A P B
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么
3
43
V
R  在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率    其中R 表示球的半径
()
(1
)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k
n …
第一部分  （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、7(1)x  的展开式中2x 的系数是（    ）
A 、42
B 、35
C 、28
D 、21
2、复数2
(1)2i i
-=（    ） A 、1                B 、1-              C 、i                D 、i -
3、函数29
,3
()3
ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩
在3x =处的极限是（    ） A 、不存在            B 、等于6            C 、等于3          D 、等于0
4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（    ） A 、
31010            B 、1010              C 、510            D 、5
15
5、函数1
(0,1)x y a a a a
=->≠的图象可能是（    ）
6、下列命题正确的是（    ）
A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使
||||
a b
a b =
成立的充分条件是（    ） A 、a b =-            B 、//a b            C 、2a b =          D 、//a b 且||||a b =
8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（    ）
A 、
B 、
C 、4
D 、9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（    ）
A 、1800元
B 、2400元
C 、2800元
D 、3100元
10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两
点间的球面距离为（    ）
A 、arccos
4R      B 、4R π            C 、arccos 3R        D 、3
R π 11、方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的
曲线中，不同的抛物线共有（    ）
A 、60条
B 、62条
C 、71条
D 、80条
12、设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8
高考试题2013
π
的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2313[()]f a a a -=（    ） A 、0                B 、2116π            C 、218
π            D 、213
16π
第二部分  （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 （2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。） 13、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则()()U U A B =___________。
14、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角
的大小是____________。
15、椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交
于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB
∆的面积是____________。
16、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，[0.3]1-=-。设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，
1[][
]()2
n n
n a x x x n N *++=∈，现有下列命题：
①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥
时，1n x ；
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥
，则n x =。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）
N
A 1