2013年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝±x D．y＝
5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（ ）
A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]
A． B． C． D．
7．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1＝﹣2，Sm＝0，Sm+1＝3，则m＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数f（x）＝，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]
12．（5分）设△AnBn∁n的三边长分别为an，bn，cn，△A高考试题2013nBn∁n的面积为Sn，n＝1，2，3…若b1＞c1，b1+c1＝2a1，an+1＝an，，，则（ ）
A．{Sn}为递减数列
B．{Sn}为递增数列
C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列
D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若•＝0，则t＝ ．
14．（5分）若数列{an}的前n项和为Sn＝an+，则数列{an}的通项公式是an＝ ．
15．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝ ．
16．（5分）若函数f（x）＝（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝﹣2对称，则f（x）的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．
（1）若PB＝，求PA；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．
18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；
（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝ex（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.
22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB＝DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．
（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年河南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅰ）
参考答案与试题解析
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