普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
1.若集合{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=
}{A.
1,4
}{B.
1,4--
}{C.
D.∅
【答案】D
【解析】{}{}1,40)1)(4(--==++=x x x M ，{}
{}4,10)1)(4(==--=x x x N Φ=⋂∴N M
2.若复数(32)z i i =-（i 是虚数单位），则z =
A.
23i -
B.
23i +
C.
32i +
D.
32i -
【答案】A
【解析】23)23(+=-=i i i z ，
i z 32-=∴
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.y 1
B.
y x x
=+
1C.
22x x
y =+
D.
x y x e =+
【答案】D
【解析】A 和C 选项为偶函数，B 选项为奇函数， D 选项为非奇非偶函数
4. 袋中共有15个除了颜外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为
5A.
21
10B.
21
11C.
21
D.1
【答案】B
【解析】2110
2
15
15110==C C C P
5. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是
A.250250x y x y ++=+-=或
B.250250x y x y ++=+-=或
C.
250250x y x y -+=--=或
D.
250250x y x y -+=--=或
【答案】A
【解析】设所求直线为02=++c y x ，因为圆心坐标为（0，0），则由直线与圆相切可得
55
1
22
==
+=
c c
d ，解得5±=c ，所求直线方程为052052=-+=++y x y x 或
6. 若变量,x y 满足约束条件458
1302x y x y +≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则32z x y =+的最小值为
A.
4
23B.
5
C.6 31
D.
5
【答案】B
【解析】如图所示，阴影部分为可行域，虚线表示目标
函数32z x y =+，则当目标函数过点（1，85
）， 32z x y =+取最小值为
235
7. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为
22
A.
143
x y -= 22
B.
1916
x y -= 22
C.
1169
x y -= 22
D.
134
x y -= 【答案】C
【解析】由双曲线右焦点为)0,5(2F ，则c=5，44
5
=∴==
a a c e 92
2
2
=-=∴a c b ，所以双曲线方程为19
162
2=-y x 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值
A.3至多等于
B.4至多等于
C.5等于
D.5
大于
【答案】B
【解析】当3=n 时，正三角形的三个顶点符合条件；当4=n 时，正四面体的四个顶点符合条件
故可排除A ，C ，D 四个选项，故答案选B
二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）
9. 在4
）
的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6 【解析】()
()
()2
44
44
11r r r
r
r
r
x
C x C
---=-，则当2=r 时，x 的系数为()612
42
=-C
10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += . 【答案】10
【解析】由等差数列性质得，255576543==++++a a a a a a ，解得55=a ，所以102582==+a a a
11. 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =1sin 2B =，6
C π
=，则b= . 【答案】1
【解析】656,21sin ππ或
=∴=
B B ，又6π=
C ，故6π=B ，所以 3
2π
=A 由正弦定理得，B
b
A a sin sin =
，所以1=b 12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言。（用数字作答） 【答案】1560
13. 已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，()30E X =，()20D X =，则p = . 【答案】
3
1
【解析】()30==np X E ，()20)1(=-=p np X D ，解得3
1=p （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的极坐标方程为2sin()4
πρθ-=，点A 的极坐标为7)4
A π，
则点A 到直线l 的距离为 . 【答案】
2
2
5 【解析】2)cos 2
2sin 22(
2)4
sin(2=-=-
θθρπ
θρ 1cos sin =-∴θρθρ 即直线l 的直角坐标方程为011
=+-=-y x x y ，即，点A 的直角坐标为（2，-2）
A 到直线的距离为2
2
52
1
22=
++=
d 15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知AB 是圆O 的直径，4AB =,EC 是圆O 的切线，切点为C ，1BC =，过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = . 【答案】8 【解析】
图1
如图所示，连结O ，C 两点，则CD OC ⊥,AC OD ⊥ ︒=∠+∠∴90ACD CDO ︒=∠+∠∠=∠90CAB CBA CBA ACD ， ,CAB CDO ∠=∠∴
则Rt △CDO ∼Rt △CAB ，所以BC
OC
AB OD =
，所以8=OD
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =（22，-22），n =（sin x ，cos x ），x （0，π2
）.
（1）若m ⊥n ，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为，求x 的值. 【解析】 （1）∵m ⃗⃗⃗ =(
√22,−√2
2
)，n ⃗ =(sinx,cosx)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =
√2
2
sinx −
√2
2
cosx =0
解得，tan x =1
（2）∵m ⃗⃗⃗ 与 n ⃗ 的夹角为 π
3
∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |cos π3
=1
2
∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =√2
2(sin x −cos x )=sin (x −π
4)=1
2
∴x −
π4
=π
6+2kπ (k ∈Z )
∵x ∈(0，π2
) ∴ x =5π12
17.（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表：
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值x 和方差2
s ； （3）36名工人中年龄在x s 与x s 之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？
【解析】 （1）
则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37
（2） 由（1）中的样本年龄数据可得，
()403743443736433640449
1
=++++++++=
x 则有
()()()()()()()()()⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+-+-+-+-+-+-+-+-=
广东高考录取分数线2021240372404324044240372403624043240362404024044912s =
9
100
（3） 由题意知年龄在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-910040910040，之间，即年龄在[]4337，之间， 由（1）中容量为9的样本中年龄在[]4337，
之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]4337，
之间的有209
5
36=⨯（人）
，
则所占百分比为
55.56%100%36
20
≈⨯ 18.（本小题满分14分）
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