收稿日期：2021-01-21
基金项目：国家自然科学基金项目“带有gH -导数的时间尺度上模糊动力学方程的解与U lam 稳定性研究”(11701425)；天水师范学院伏羲科研创新团队项目“微分方程建模分析与数值模拟”(F X D 2020-03).
作者简介：沈永红(1982—)，男，甘肃西和人，博士，副教授.研究方向：模糊分析、泛函方程及微分方程的稳定性.
沈永红，孙小科
（天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001）
摘
要：闭图像定理表明Banach 空间中线性算子图像的闭性蕴含算子的连续性.相反地,
其逆命题不成立，特别强调了值域空间的Haudorff 分离性的重要性.此外，利用此结论证明了Banach 空间中线性算子对于弱拓扑的连续性与对于强拓扑的连续性等价.最后，通过对值域空间附加紧致性条件建立了从一个拓扑空间到一个紧致Hausdorff 空间的映射的连续性与其图像闭性之间的等价刻画.
关键词：Hausdorff 空间；紧致空间；闭图像定理；连续性；闭性中图分类号:O177.2;O189.1
文献标志码:A
文章编号:1008-9020(2021)02-001-041引言及预备知识
闭图像定理是泛函分析中一个十分重要的结
论，此定理揭示了Banach 空间中线性算子图像的闭性与其连续性之间的关系.相反地，作为闭图像逆命题的推广，可以看到对于从拓扑空间到
Hausdorff 空间的映射而言，其连续性也蕴含着图像的闭性.综合这两部分结论，作为特殊情形容易看到在Banach 空间中一个线性算子的连续性与其图像的闭性是等价的.事实上，在一般的拓扑空间中由一个映射的连续性来导出其图像的闭性时，相应值域空间的Hausdorff 分离性起到了至关重要的作用.下面将通过举反例方式对此作进一步解释和说明.除此之外，一个更有意义的问题是建立一般拓扑空间中映射连续性与其图像闭性之间的等价关系.从泛函分析课程教与学的角度来看，这一问题的提出对学生学习泛函
分析课程具有很好的启发意义.下面是一些相关的基本概念与结论.
定义1[1]
一个拓扑空间X 称为是Hausdorff 空
间，如果对于X 中任意两点存在各自的(开)邻域使得这两个(开)邻域不交.
定义2[1]
一个拓扑空间X 称为是紧致空间,
如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖.
引理1[1]设X 与Y 是两个集合.若A ⊂X ,B ⊂Y 则Descartes 积A ×B 相对于X ×Y 的余集
(A ×B )c =(A c ×Y )∪(A ×B c ).
闭图像定理[2]设X ,Y 是Banach 空间.L ∶X →Y 是线性算子.若算子L 的图像
G L ={(x ,L (x ))|x ∈X }是积空间X×Y 中的闭集，则算子L 是连续的.引理2
若X 是拓扑空间,Y 是紧致空间，则坐
天水教育信息网标投射πx ∶X×Y →X 是闭映射.
证明设A 为X×Y 中的任一闭集，下证πx (A )
为X 中的闭集.设x ∈πx (A )，则存在网{x α}α∈Γ⊂πx (A )，使得
x α→x .
由于对任意的α∈Γ，有x α∈πx (A )，进而存在相
应的y α∈Y ，使得(x α,y α)∈A .又由Y 是紧致空间，所以存在网{y α}α∈Γ
的子
网{y β}
β∈Γ1
(Γ1⊂Γ)，使得y β→y ∈Y .
注意到x α→x 蕴含x β→x .
另外，由于A 是闭的，所以有(x ,y )∈A .
从而,x ∈πx (A ).证毕.
1
第26卷第2期（2021）Vol.26No.2（2021）
注1事实上，引理2是文献[3]中的Kuratowski 定理(125页)的一部分结果，其证明是借助Wal⁃
lace定理来完成的.此处，利用网收敛提供了另一种证明方法.
下面的定理1实质上可看成是Banach空间中闭图像定理的逆命题在拓扑空间中的推广.
定理1[4]若X是拓扑空间,Y是Hausdorff空间,f∶X→Y是一个连续映射，则映射f的图像G f 是积空间X×Y中的闭集.
特殊地，若定理1中的拓扑空间X与Y均退化成Banach空间，则可得推论1.
推论1若X,Y是Banach空间,L∶X→Y是一个连续的线性算子，则算子L的图像G L是X×Y 中的闭集.
事实上，推论1是闭图像定理的一个逆定理.进一步，结合闭图像定理可得到连续线性算子的一个等价刻画，即推论2.
推论2若X,Y是Banach空间,L∶X→Y是一个线性算子.则算子L是连续的充分必要条件是算子L的图像G L是X×Y中的闭集.
定理2[1]若X是拓扑空间，则X是Hausdorff 空间的充分必要条件是积空间X×X的对角线
△={(x,x)∈X×X|x∈X}
是一个闭集.
从映射图像的角度来看定理2中的对角线，实际上是从拓扑空间X到自身的恒等映射i X的图
像G i
X，这意味着拓扑空间的Hausdorff分离性可由其上恒等映射图像的闭性来等价刻画.于是可容易得到推论3.
推论3若X是拓扑空间，则X是Hausdorff 空间的充分必要条件是恒等映射i X的图像是积空间X×X中的闭集.
2推广的闭图像定理逆命题的几点注记
下面通过举例来说明定理1中值域空间Y的Hausdorff分离性对于决定连续映射图像闭性时的重要作用.首先来说明映射的值域空间不具有任何分离性质时，定理的结论将未必成立.
例1设集合
X={a,b,c},Y={d,e}.
定义X与Y上的拓扑分别为
T X={Ø,{a},{b},{a,b},X},T Y={Ø,Y}.
定义从集合X到Y的映射f为
f(a)=f(b)=d,f(c)=e.
注意到集合Y上的拓扑是平庸拓扑，易知拓扑空间(X,T X)无任何分离性.显然，映射f是连续映射.根据X与Y上的拓扑可得Descartes积X×Y上的拓扑
T X×Y={Ø,{a}×Y,{b}×Y,{a,b}×Y,X×Y}.
根据引理1，可得积拓扑T X×Y对应的闭集族为
F X×Y={Ø,{b,c}×Y,{a,c}×Y,{c}×Y,X×Y}.
由映射f的定义，图像
G f={(a,d),(b,d),(c,e)}
={{a,d}×{d},{c}×{e}}.
显然,G f⊄F X×Y.
因此，映射f的图像G f不是积空间中的闭集.
下面的例子表明如果值域空间只满足T1分离性公理，但不满足Hausdorff分离性公理，那么定理的结论仍然未必成立.
例2设X=R带有通常拓扑T,Y=R带有有限补拓扑T f.定义从X到Y的映射f满足
f(x)=x.
由于Y中的每个单点集都是闭集，于是由文献[1]中的定理6.1.2可知,Y是T1-空间.进一步可以证明Y在有限补拓扑下不是一个Hausdorff空间.又由T f⊂T以及映射f的定义可知,f是一个连续映射.但是映射f的图像(实际是积空间中的对角线)
G f=△={(x,x)∈R×R|x∈R}
不是积空间X×Y中的闭集.事实上，对于任意的(x,y)∈G c f，有
x≠y.
任取T中包含x的开集U和T f中包含y的开集V，容易看到
(U×V)∩G f≠Ø.
于是U×V⊄G
c
f，这意味着在积空间中不存在包含(x,y)且含在G
c
f
中的开集.从而可知G
c
f
不是积空间X×Y中的开集.因此,G f不是积空间X×Y中的闭集.
注2以上的两个例子表明在利用拓扑空间中映射的连续性来刻画其图像闭性的过程中，值域空间的Hausdorff分离性是一个不可或缺的条件.此外，结合定理2或推论3与例2可以看到Hausdorff分离性对于恒等映射在决定积空间的对角线的闭性或恒等映射图像的闭性中的重要作用.
沈永红，孙小科：关于闭图像定理的一个注记2
作为定理1的应用，下面将利用其证明Banach 空间中线性算子对于弱拓扑的连续性与对于强拓扑的连续性的等价性.
定理3
设X ,Y 是Banach 空间,L ∶X →Y 是
线性算子.则L 对于X ,Y 的弱拓扑是连续的充分必要条件是L 对于X ,Y 的强拓扑是连续的.
证明
记X 上的强弱拓扑分别为T s
X 和T w
X ,Y
上的强弱拓扑分别为T s
Y 和T w
Y .
必要性.
由条件,L 对于X ,Y 的弱拓扑连续.
由定理1可知，算子L 的图像G L 是由弱拓扑导出的积空间X×Y 中的闭集.
又由于T w
X ⊂T s
X ,T w
Y ⊂T s
Y ，故算子L 的图像G L 也是由强拓扑导出的积空间X×Y 中的闭集.
利用闭图像定理可知，算子L 对于X ,Y 的强拓扑连续.
充分性.
利用弱拓扑的性质，要证算子L 对于X ,Y 的弱拓扑连续，只需要证明对于任意
°y *L y *∈Y *,:x →(Lx ,y *),
是从弱拓扑空间(X ,T w
X )到数域F 的连续泛函.
由条件,L ∈B (X ,Y )，于是
(Lx ,y *)=(x ,L *y *).
°容易看到，是从(X ,T w
X )到F 的连续泛函.
°y *
L 证毕.
3映射连续性与其图像闭性之间的一个等
价刻画
文献[2]中(P292~293)所给的例子.考虑从X 到Y 的微分算子
D =d dt
,
其中
X =C 1[a ,b ],Y =C [a ,b ].
容易验证算子D 是不连续的线性算子，但是一个闭算子.从而可知其图像G D 是积空间X×Y 中的闭集.然而，如果将X 仅看作由范数所导出的拓扑空间,Y 作为Banach 空间，显然是一个Hausdorff 空间，那么以上的结论表明定理1的逆命题一般并不成立，即就是说在对于一个从拓扑空间到Hausdorff 拓扑空间的映射，映射图像的闭性并不蕴含映射的连
续性.然而，如果在值域空间上附加一个紧致性条件，则可得到如下有关映射连续性与其图像闭性关系之间的一个等价刻画.
定理4
若X 是拓扑空间,Y 是紧致Hausdorff
空间,f ∶X →Y 是一个映射，则映射f 连续的充分必要条件是f 的图像G f 是积空间X×Y 中的闭集.证明记积空间X×Y 到坐标空间X 与Y 的投
射分别为πx 与πy .由定理1，必要性显然.下证充分性.
对于任意Y 中的闭集A ，注意到
f -1(A )=πx (π-1
y (A )∩G f ).
利用坐标投射的性质,πy 是从X×Y 到Y 的连续映射，于是π-1
y (A )是X×Y 中的闭集.
由条件G f 的闭性可知,π-1
y (A )∩G f 也是积空间X×Y 中的闭集.又由于Y 是紧致的，由引理2可知投射πx 是闭映射.
于是,πx (π-1
y (A )∩G f )是X 中的闭集.即f -1(A )是X 中的闭集.
由A 的任意性,f ∶X →Y 是一个连续映射.证毕.注3
从定理4的证明可以看出，结论必要性
部分只需要Y 是Hausdorff 空间，而充分性部分只需要Y 是紧致空间.
事实上，紧致性是一个较强的条件，如果去掉此条件，只要求投射πx 是一个闭映射，那么便可得到如下一个更为一般的结论.
定理5
设X 是拓扑空间,Y 是Hausdorff 空
间,f ∶X →Y 是一个映射.若坐标投射πx ∶X×Y →X 是闭映射，则映射f 连续的充分必要条件是f 的图
像G f 是积空间X×Y 中的闭集.
此定理的证明过程同定理4，此处从略.
4结论
映射的连续性与其图像的闭性之间存在着密切
的联系.闭图像定理表明在Banach 空间中一个线性算子图像的闭性蕴含着该算子的连续性.相反地，一个更一般的结果是从一个拓扑空间到一个Hausdorff 空间的映射的连续性蕴含着其图像的闭性.结合闭图像定理，可以看到在Banach 空间中线性算子的连续性与其图像的闭性等价.同时，借助此结论可以证明在Banach 空间中线性算子对于
3
第26卷第2期（2021）Vol.26No.2（2021）
责任编辑：詹紫浪
强拓扑的连续性与对于弱拓扑的连续性等价.
最后，从对映射的连续性与其图像闭性之间关系推广的角度出发，建立了从拓扑空间到紧致
Hausdorff 空间映射的连续性与其图像闭性之间关系的等价刻画.然而，由于空间的紧致性是一个比较强的附加条件，对于从拓扑空间X 到Hausdorff 空间Y 的映射f 而言，如果去掉值域空间Y 的紧致性，需要给映射f 附加什么条件才能保证该映射的连续性与其图像的闭性相互等价，这是一个值得进一步思考的问题.
参考文献院
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SHEN Yong-hong,SUN Xiao-ke
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu 741001)
Abstract:The closed graph theorem shows that the closedness of the graph of the linear operator in Banach spaces implies its conti -
nuity.On the contrary,a more general conclusion is that the continuity of the mapping from a topological space to a Hausdorff space implies the closedness of its image.This paper provides several counterexamples to illustrate the inverse proposition is not true,and
especially emphasizes the importance of the Haudorff separation of the range space.In addition,this co
nclusion is used to prove that the continuity of linear operators in Banach space for the weak topology is equivalent to the continuity for the strong topology.Finally,
an equivalent characterization between the continuity of the mapping from a topological space to a compact Hausdorff space and the closedness of its image is established by attaching a compactness condition to the range space.Key words:Hausdorff spaces;compact spaces;closed graph theorem;continuity;colosedness
沈永红，孙小科：关于闭图像定理的一个注记4
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