素养提升练(六)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2019·宣城二调)若复数z 满足z (1＋2i)＝3＋i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数＝(  )
z A ．1  B ．1－i  C ．2  D ．1＋i 答案　D
解析　由z (1＋2i)＝3＋i ，z ＝＝＝＝1－i ，∴z 的共3＋i 1＋2i (3＋i )(1－2i )1－4i 2
5－5i
5轭复数为1＋i ，故选D.
z －
2．(2019·清远联考)已知集合A ＝{x ∈R |log 2(x ＋1)≤2}，B ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝(  )
A ．{－1,0,1,2,3}
B ．{0,1,2,3}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2}
答案　B
解析　由题可知A ＝(－1,3]，则A ∩B ＝{0,1,2,3}．故选B.
3. (2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为(  )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4答案　C
解析　根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是
＝18.5，④错误，故选C.18＋19
2
4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为(  )
A ．24里
B ．12里
C ．6里
D ．3里答案　C
解析　记每天走的路程里数为{a n }，则{a n }为公比q ＝的等比数列，由S 6＝
1
2
378，得S 6＝
＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×＝6，故选C.
a 1(1－
126
)
1－1
2
1
255．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且cos ＝，则sin2α＝
(π2＋α)
3
5
(  )
A.  B ．－  C.  D ．－242524257257
25答案　A
解析　cos ＝⇒sin α＝－，∵sin 2α＋cos 2α＝1，α是第三象限角，∴cos α
(π2＋α)
3535
＝－，
1－sin 2α4
5
∴sin2α＝2sin αcos α＝，故选A.
24
25
6．(2019·黄山质检)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝，且a ⊥(a ＋2b )，则b 2在a 方向上的投影为(  )
A ．1
B ．－1  C.  D ．－22答案　B
解析　由于a ⊥(a ＋2b )，故a ·(a ＋2b )＝0，即a 2＋2a ·b ＝4＋2a ·b ＝0，a ·b ＝－2.故b 在a 方向上的投影为＝＝－1.故选B.
a ·
b |a |－2
2
7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝在[－π，π]的图象大致为(  )
sin x ＋x
cos x ＋x
2
答案　D
解析　∵f (－x )＝＝－f (x )，
sin (－x )－x
cos (－x )＋(－x )2∴f (x )为奇函数，排除A.
又f ＝＝>1，f (π)＝>0，排除B ，C.故选D.
(π2)
1＋π2(π2
)
24＋2ππ
2π－1＋π28．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝，2BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为
(  )
A.  B.  C.  D.π2π3π4π6答案　B
解析　取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，2在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可
3
求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，
sin ∠CA 1D 1＝＝，∴∠CA 1D 1＝，故选B.
CD 1A 1C 32π
3
9．(2019·四川二诊)在数列{a n }中，已知a 1＝1，且对于任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则数列{a n }的通项公式为(  )
A ．a n ＝n
B ．a n ＝n ＋1
C ．a n ＝
D ．a n ＝
n (n －1)
2n (n ＋1)
2
答案　D
解析　令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，∴a n －1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝.故选D.n (n ＋1)
2
10．(2019·山师附中模拟)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点且与对称轴
x 2a 2y 2
b 2垂直的直线与双曲线交于A ，B 两点，△OAB 的面积为，则双曲线的离心
13bc 3
率为(  )
A.
B.
C.
D.
132133222223
答案　D
解析　右焦点设为F ，其坐标为(c,0)，令x ＝c ，代入双曲线方程可得y ＝±b ＝±，△OAB 的面积为·c ·＝bc ⇒＝，可得e ＝＝＝c 2a 2－1b 2a 122b 2a 133b a 133c a 1＋b 2
a 2＝，故选D.1＋13
9
22311．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(  )
A ．8＋4
B ．2＋2＋4223
C ．2＋6
D ．2＋4＋2323答案　D
解析　由题意可知，该几何体的直观图如图：
该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A －BCD ，三棱锥的表面积为×2×2＋2××2×＋×(2)2＝2＋4＋2.故选D.121
2234
22312．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD 中，∠BCD ＝60°，曲线C 1是以A ，C 为焦点，通过B ，D 两点且与直线x ＋2y －4＝0相切的椭圆，则曲线C 1的方3程为(  )
A.＋＝1
B.＋y 2
＝1x 24y 2
3x 24C.＋＝1    D.＋＝1x 25y 2
4x 28y 2
2
答案　B
解析　如图，由题意可得a ＝2b (b >0)，则设椭圆方程为＋＝1.
x 24b 2y 2
b
2
联立Error!得4y 2－4y ＋4－b 2＝0.
3由Δ＝48－16(4－b 2)＝0，解得b ＝1.所以曲线C 1的方程为＋y 2＝1.故选B.
x
24
第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
2019高考数学答案
13．(2019·东北三校模拟)已知x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋y 的最大值为________．