专题17不等式选讲
历年考题细目表
题型年份考点试题位置
解答题2019 不等式选讲2019年新课标1理科23
解答题2018 综合测试题2018年新课标1理科23
解答题2017 综合测试题2017年新课标1理科23
解答题2016 综合测试题2016年新课标1理科24
解答题2014 综合测试题2014年新课标1理科24
解答题2013 综合测试题2013年新课标1理科24
解答题2012 综合测试题2012年新课标1理科24
解答题2011 综合测试题2011年新课标1理科24
解答题2010 综合测试题2010年新课标1理科24
历年高考真题汇编
1．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：
（1）a2+b2+c2；
（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．
【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．
就要证：a2+b2+c2；
即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；
即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；
2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0
（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．
故a2+b2+c2得证．
（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；
即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；
（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；
当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．
（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；
当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；
∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；
故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．
故得证．
2．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，
由f（x）＞1，
∴或，
解得x，
故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），
（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，
∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，
即|ax﹣1|＜1，
∴﹣1＜ax﹣1＜1，
∴0＜ax＜2，
∵x∈（0，1），
∴a＞0，
∴0＜x，
∴a
∵2，
∴0＜a≤2，
故a的取值范围为（0，2]．
3．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．
2019高考数学答案【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，
g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，
当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，
+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；
当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．
综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；
（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需
，解得﹣1≤a≤1，
故a的取值范围是[﹣1，1]．
4．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
【解答】解：（Ⅰ）f（x），
由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：
（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得
当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；
当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，
即有﹣1＜x或1＜x；
当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．
则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．
5．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且．
（Ⅰ）求a3+b3的最小值；
（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，
∴2，∴ab≥2，
当且仅当a＝b时取等号．
∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，
∴a3+b3的最小值为4．
（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．
而由（1）可知，2246，
故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．
6．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．