(2010-2019)高考数学真题分类汇编专题10立体几何与空间向量解答题理...

专题10立体几何与空间向量解答题

历年考题细目表

历年高考真题汇编

1．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°,E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

(1）证明：MN∥平面C1DE；

（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．

【解答】（1）证明:如图，过N作NH⊥AD，则NH∥AA1,且,

又MB∥AA1，MB，∴四边形NMBH为平行四边形,则NM∥BH，

由NH∥AA1，N为A1D中点,得H为AD中点，而E为BC中点，

∴BE∥DH，BE＝DH，则四边形BEDH为平行四边形，则BH∥DE，

∴NM∥DE，

∵NM⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE,

∴MN∥平面C1DE;

（2)解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则N（，，2），M（，1，2）,A1（，﹣1，4），

，，

设平面A1MN的一个法向量为，

由，取x，得，

又平面MAA1的一个法向量为，

∴cos．

∴二面角A﹣MA1﹣N的正弦值为．

2．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E,F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．