2019年高考数学真题分类汇编专题17：空间几何(综合题）
一、解答题
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D  ， E分别为BC  ， AC的中点，AB=BC ． 
求证：
（1）A1B1∥平面DEC1；   
（2）BE⊥C1E ．   
2.（2019•浙江）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1  ， 平面A1AC1C⊥平面ABC，∠ABC=90°.∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点 
 
（1）证明：EF⊥BC   
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.   
3.（2019•天津）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ， 
（2019高考数学答案Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
4.（2019•天津）如图， 平面 ， ， . 
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.
5.（2019•全国Ⅲ）图1是由矩形ADEB、 ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°.将其沿AB  ， BC折起使得BE与BF重合，连结DG  ， 如图2. 
（1）证明图2中的A  ， C  ， G  ， D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；   
（2）求图2中的四边形ACGD的面积.   
6.（2019•全国Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFCC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DC，如题2. 
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；   
（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.
   
7.（2019•卷Ⅱ）如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， 。
（1）证明： ；   
（2）若 ， ，求四棱锥 的体积。   
8.（2019•卷Ⅱ）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
 
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；   
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.   
9.（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
10.（2019•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3。E为PD的中点，点F在PC上，且 .
（I）求证：CD⊥平面PAD；
（II）求二面角F-AE-P的余弦值；
（III）设点G在PB上，且 .判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由。
11.（2019•卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1  ， A1D的中点 
（1）证明：MN∥平面C1DE；   
（2）求点C到平面C1DE的距离。   
12.（2019•卷Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2， BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1  ， A1D的中点
（1）证明：MN∥平面C1DE；   
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值。   

答案解析部分
一、解答题
1.【答案】 （1）证明：因为D  ， E分别为BC  ， AC的中点， 
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1  ，
所以A1B1∥ED.
又因为ED⊂平面DEC1  ， A1B1 平面DEC1  ，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）解：因为AB=BC  ， E为AC的中点，所以BE⊥AC. 
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE⊂平面ABC  ， 所以CC1⊥BE.
因为C1C⊂平面A1ACC1  ， AC⊂平面A1ACC1  ， C1C∩AC=C  ，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E⊂平面A1ACC1  ， 所以BE⊥C1E.
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定   
【解析】【分析】（1）利用直三棱柱的结构特征结合中点的性质，用中位线证出线线平行，从而证出线面平行。
（2）因为AB=BC  ， E为AC的中点，所以BE⊥AC  ， 再结合直三棱柱的结构特征证出线面垂直，再利用线面垂直的定义证出线线垂直。
2.【答案】 （1）连接A1E  ， 因为A1A=A1C  ， E是AC的中点，所以A1E⊥ AC. 
又平面A1ACC1⊥平面ABC  ， A1E 平面A1ACC1  ，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC  ，
所以，A1E⊥ 平面ABC  ， 则A1E⊥  BC.
又因为A1F∥AB  ， ∠ABC=90°，故BC⊥A1F.