2021年全国高考数学方向试卷（B卷）
2019高考数学答案一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）
1.(2021·全国·模拟题)设全集为R，A={x|y=√x−1}，B={y|y=√x−1}，则B∩
∁R A=()
A. [0,1)
B. [0,1]
C. {0}
D. ⌀
|2=z(2−i)，i为虚数单位，则|z|=()
2.(2021·全国·模拟题)复数z满足|z
1+i
A. 1
B. 1或3√2
C. 2√5
D. 0或2√5
3.(2021·全国·模拟题)等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S1=1，S3=9，则S5=()
A. 17
B. 25
C. 5
D. 81
4.(2021·全国·模拟题)伴随年轻人对饮品需求的转变，奶茶逐渐成为了他们不可或缺
的部分.作为当红茶饮品牌锤子奶茶不但深受消费者的喜爱，更是带动了整个市场的品牌化、年轻化.如图为2017−2020年奶茶门店总数及增速图.利用统计知识进行分析，下列说法正确的是()
A. 2017−2020年锤子奶茶店铺数量增长的越来越快
B. 2020年锤子奶茶店铺数量较2017年增加了78.21%
C. 2017−2020年锤子奶茶店铺数量与时间存在曲线相关关系
D. 根据2017−2020年锤子奶茶店铺数量的变化趋势可以预测2021年锤子奶茶店
铺数量会下降
5.(2021·全国·模拟题)(x2+2x+3)(2x+1)6的展开式中，x2的系数是()
A. 250
B. 520
C. 205
D. 502
6.(2021·全国·模拟题)音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明
了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数y=Asinωx的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如
二分之一、三分之一、.....)也在振动，所以我们听到声音的函数是y =sinx +
12
sin2x +13
sin3x +⋯，则声音函数y =sinx +1
2
sin2x 的最大值是(    )
A. 3
2
B. 1
C. 3√34
D. −3√34
7. (2021·全国·模拟题)一直线l 经过双曲线
x 2a
2−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的左焦点F ，且与
双曲线的左支及两渐近线依次交于点A ，B ，C.已知|FA|=|AB|=1
2|BC|，则该双曲线的离心率为(    )
A. 3√6
2
B. 2√63
C. 3√32
D. √64
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
8. (2021·全国·模拟题)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1，则下列结论正确的是(    )
A. (a +b)√c ≥2
B. 1
a +1
b +1
c ≤a 2+b 2+c 2
C. 若0<c ≤1，则(a +1)(b +1)<4
D. a 2b 2+2b 2c ≥3
9. (2021·全国·模拟题)已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)图象的一条对
称轴为x =
2π
3
，f(π4)=√3且f(x)在(π4,2π
3
)内单调递减，则以下说法正确的是(    )
A. (−7π
12,0)是其中一个对称中心    B. ω=14
5 C. f(x)在(−5π
12,0)单调递增
D. f(−π
6)=−1
10. (2021·全国·模拟题)如图，在棱长为2的正四面体P −ABC 中，
D 、
E 分别为AB 、AC 上的动点(不包含端点)，
F 为PC 的中点，则下列结论正确的有(    )
A. DE +EF 的最小值为√3
B. 若E 为AC 中点，则DF 的最小值为√2
C. 若四棱锥F −BDEC 的体积为√24，则DE 的取值范围是[1,√13
2
)
D. 若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2，则CE =1
11. (2021·全国·模拟题)对于定义在[a,b]且值域为[m,n]的函数f(x)，记|f(x)|[a,b]∗=
|n −m|，如：|2x +1|[1,3]∗=4.则以下说法一定正确的是(    )
A. |f(x)+g(x)|[a,b]∗≤|f(x)|[a,b]∗+|g(x)|[a,b]∗
B. 若∀x ∈[a,b]，
f(x)≥0，g(x)≥0，则|f(x)+g(x)|[a,b]∗=|f(x)|[a,b]∗+|g(x)|[a,b]∗
C. x 0∈(a,b)，|f(x)|[a,x 0]∗+|f(x)|[x 0,b]∗≥|f(x)|[a,b]∗
D. 若∀x 0∈(a,b)，|f(x)|[a,x 0]∗+|f(x)|[x 0,b]∗=|f(x)|[a,b]∗，则f(x)在(a,b)内单调递
增或单调递减
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
12. (2021·全国·模拟题)函数f(x)=e x +x 在(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的图形面
积为______ ．
13. (2021·全国·模拟题)某次数学考试满分150分，某班同学的成绩服从正态分布
N(90,σ2)(σ>0)，若ξ在区间(70,110)的概率为0.8，则任取三名同学的成绩仅一名同学的成绩不低于110分的概率为______ ．
14. (2021·全国·模拟题)在△ABC 中，∠BAC =π
3，△ABC 的面积为4√3，D 为线段BC 上
一点，且CD =2BD ，点E 在线段AD 的延长线上，满足CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为______ ．
15. (2021·全国·模拟题)将三个边长为6的正方形分别沿
相邻两边中点裁剪而成(1、2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是______ ，外接球表面积为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
16. (2019·重庆市市辖区·月考试卷)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，
a 2，a 4，a 7成等比数列，且S 5=50． (1)求S n ； (2)求数列{1
a
n a n+1
}的前n 项和．
17.(2021·全国·模拟题)在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且有b=2．
在下列条件中选择一个条件完成该题目：
①cosC+(cosB−√3sinB)cosA=0；②2asinA=(2b−c)sinB+(2c−b)sinC．
(1)求A的大小；
(2)求2a+c的取值范围．
18.(2018·湖南省长沙市·月考试卷)为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1
万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N(50,162)，分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50,60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．
(1)如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直
方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；
(2)大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月
对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18,34)内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18,34)内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？
(附：若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X<μ+σ)=68.3%，P(μ−2σ<X<μ+2σ)=95.4%，P(μ−3σ<X<μ+3σ)=99.7%)
19.(2021·全国·模拟题)如图所示四棱锥P−ABCD，底面是一个菱形，且∠B=60°，E
点为线段PA中点，且CE=AB，CE⊥AD，面PAD⊥面ABCD．
(1)求证：PD⊥面ABCD；
(2)求二面角C−PA−B的余弦值．